Lời giải:

Theo hằng đẳng thức đáng nhớ:

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$\Leftrightarrow 3=27-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=8$Đặt $(x+y,y+z,x+z)=(a,b,c)$ thì $abc=8$ và $a+b+c=6$Do $a+b+c=6>0$ nên $(a,b,c)$ sẽ là 3 số dương hoặc $1$ dương $2$ âm.

TH1: $a,b,c$ đều dương.

Áp dụng BĐT AM-GM: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{8}=6$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

$\Leftrightarrow x+y=y+z=x+z=2\Leftrightarrow x=y=z=1$

TH2: $a,b,c$ có 1 số dương 2 số âm. Giả sử $a$ dương và $b,c$ âm.

$a+b+c=6$ nên $a>6$. Mà $abc=8$ nên $a=8$

$\Rightarrow bc=1$ và $b+c=-2$

$\Rightarrow b=c=-1$

$\Rightarrow x=y=4; z=-5$

Vậy $(x,y,z)=(1,1,1); (4,4,-5)$ và hoán vị.

pt sau của bạn bị thiếu thì phải

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)

Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)

Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)

\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}15x+9y+z=300\\x+y+z=100\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow14x+8y=200\Rightarrow7x+4y=100\)

\(\Leftrightarrow7x=4\left(25-y\right)\)

Do 7 và 4 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow x⋮4\Rightarrow x=4k\)

\(\Rightarrow y=25-7k\)

\(z=100-\left(x+y\right)=3k+75\)

Vậy nghiệm của pt là \(\left(x;y;z\right)=\left(4k;-7k+25;3k+75\right)\) với \(k\in Z\)

Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:

$x^3=x^2+x+2$

$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y-z)=\frac{-5}{3} (1)\\ y^2(z-x)=3 (2)\\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} (3)\end{matrix}\right.$

Ta có "vòng đặc biệt" này: $(x^2y^2-z^2x^2)+(y^2z^2-x^2y^2)+(z^2x^2-y^2z^2)=0$.

Từ đó, ta lấy: $(1).(y+z)+(2).(z+x)+(3).(x+y)=0$, ta được: $y-z=\frac{5}{2}x$.

Thế vào phương trình đầu ta được: $x=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}},\ y=-\sqrt[3]{18},\ z=-\frac{1}{\sqrt[3]{12}}$.