Xác định đa thức f(x) có bậc ba thỏa mãn: \(f\left(x+1\right)-f\left(x\right)=x^2\left(\forall x\right)\) và \(f\left(2\right)=2020\)
1. Chứng minh rằng mọi hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) thỏa mãn \(f\left(xy+x+y\right)=f\left(xy\right)+f\left(x\right)+f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
2. Xác định tất cả các hàm số \(f\) liên tục trên \(ℝ\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(2x-y\right)=2f\left(x\right)-f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
Cho đa thức \(f\left(x\right)\) có bậc 3 và hệ số cao nhất bằng 2 thỏa mãn :\(f\left(2020\right)=2021\) và \(f\left(2021\right)=2022\). Tính giá trị của \(f\left(2022\right)-f\left(2019\right)=?\).
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý giúp đỡ em tham khảo với ạ.
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn các điều kiện \(f\left(x\right)>0,\forall x\in R\), \(f\left(0\right)=1\) và \(f'\left(x\right)=-4x^3.\left(f\left(x\right)\right)^2,\forall x\in R\). Tính \(I=\int_0^1x^3f\left(x\right)dx\)
A.\(I=\dfrac{1}{6}\) B. \(I=ln2\) C. \(I=\dfrac{1}{4}\) D. \(I=\dfrac{ln2}{4}\)
Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥
\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)
Lấy nguyên hàm hai vế
\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)
Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)
\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)
Chọn D
#định_lý_Bézout_toán_nâng_cao_lớp_8
Cho đa thức \(f\left(x\right)\) là đa thức bậc 3 thỏa mãn \(f\left(2\right)=3\); \(f\left(3\right)=4\); \(f\left(4\right)=5\) và \(f\left(5\right)=10\) . Tính giá trị \(f\left(6\right)=?\)
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)-x-1\Rightarrow g\left(2\right)=g\left(3\right)=g\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) có 3 nghiệm 2;3;4
\(\Rightarrow g\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)+x+1=a\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+x+1\)
\(f\left(5\right)=10\Rightarrow a\left(5-2\right)\left(5-3\right)\left(5-4\right)+5+1=10\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+x+1\)
\(\Rightarrow f\left(6\right)=\dfrac{2}{3}.4.3.2+6+1=...\)
Cho nhị thức bậc nhất f(x) = 4-2x. Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng ?
\(A,f\left(x\right)>0với\forall x\in\left(-\infty;2\right)\)
\(B,f\left(x\right)>0với\forall x\in(-\infty;-2]\)
C,\(f\left(x\right)>0với\forall x\in\left(2;+\infty\right)\)
\(D,f\left(x\right)< 0với\forall x\in\left(-\infty;2\right)\)
Cho đa thức f(x) thỏa mãn \(\left(x^2-25\right).f\left(x+1\right)=\left(x-2\right).f\left(x-1\right)\)
Cmr f(x) có ít nhất 3 nghiệm
\(\left(x^2-25\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right).f\left(x-1\right)\) (1)
Thay \(x=2\) vào (1) ta được:
\(-21.f\left(3\right)=0.f\left(1\right)=0\Rightarrow f\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow x=3\) là 1 nghiệm của \(f\left(x\right)\)
Thay \(x=5\) vào (1):
\(0.f\left(6\right)=3.f\left(4\right)\Rightarrow f\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow x=4\) là 1 nghiệm
Thay \(x=-5\) vào (1):
\(0.f\left(-4\right)=-7.f\left(-6\right)\Rightarrow f\left(-6\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-6\) là 1 nghiệm
Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 3 nghiệm là \(x=\left\{3;4;-6\right\}\)
Cho đa thức f(x) bậc ba với hệ số thỏa mãn :\(|f\left(1\right)|=|f\left(2\right)|=|f\left(3\right)|=|f\left(4\right)|=|f\left(5\right)|=|f\left(6\right)|=|f\left(7\right)|=12\)
Tính \(|f\left(0\right)|\)
Xác định một đa thức bậc ba f(x) không có hạng tử tự do sao cho : \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x^2\)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn: \(2xf'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}cosx,\forall x\in\left(0;+\infty\right)\) và \(f\left(4\Pi\right)=0\)
Tính giá trị biểu thức \(f\left(9\Pi\right)\)
\(2x.f'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}.cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=x.cosx\)
\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'=x.cosx\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'dx=\int x.cosxdx\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=x.sinx+cosx+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx+C.\sqrt{x}\)
Thay \(x=4\pi\)
\(\Rightarrow0=4\pi.\sqrt{4\pi}.sin\left(4\pi\right)+\sqrt{4\pi}.cos\left(4\pi\right)+C.\sqrt{4\pi}\)
\(\Rightarrow C=-1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx-\sqrt{x}\)