Giả sử tứ giác ABCD có AD = a, AB = b, BC = c, CD = d không có hai cạnh nào bằng nhau. Ta có thể giả sử a < b < c < d.

Ta có a + b + c > BD + c > d.

Do đó a + b + c + d > 2d hay S > 2d (*)

Ta có: S\(⋮\)a => S = m.a (m\(\in\)N)   (1)

S\(⋮\)b => S = n.b (n\(\in\)N)               (2)

S\(⋮\)c => S = p.d (p\(\in\)N)               (3)

S\(⋮\)d => S = q.d (q\(\in\)N)              (4)   . Từ (4) và (*) suy ra q.d > 2d => q > 2

Vì a < b < c < d (theo giả sử) nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra m > n > p > q > 2

Do đó q\(\ge\)3; p\(\ge\)4; n\(\ge\)5; m\(\ge\)6

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 1/_m = a/_S; 1/n = b/_S; 1/p = c/_S; 1/q = d/_S

Ta có: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{a+b+c+d}{S}=1\)

hay \(\frac{19}{20}\ge1\)(vô lí)

Vậy tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau (đpcm)

Đặt d = (a, b, c, d) thì a = dx; b = dy; c = dz; d = dt với (x, y, z, t) = 1.

Dễ thấy x, y, z, t có tính chất giống như a, b, c, d.

Giả sử không tồn tại 3 số trong x, y, z, t bằng nhau. 

Gọi x là số lớn nhất thì x > 1. Nếu x có ước nguyên tố p khác 2 thì p lẻ. Ta thấy \(y^2+z^2⋮xt\Rightarrow y^2+z^2⋮p\). Tương tự \(z^2+t^2⋮p;t^2+y^2⋮p\Rightarrow y^2-z^2⋮p\Rightarrow2y^2⋮p\Rightarrow y⋮p\). Do đó \(x,z,t⋮p\), vô lí.

Do đó x chỉ có ước nguyên tố là 2. 

Nếu \(x=2^k\left(k>1\right)\) thì tương tự ta có \(2y^2⋮2^k\Rightarrow y⋮2\). Tương tự z, t chia hết cho 2 (vô lí)

Do đó x = 2.

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge t\) thì y = 2; z = t = 1 (Do không có 3 số bằng nhau)

Thử lại ta thấy không thỏa mãn.

Vậy...

nhìn cái tên của m đã thấy ức chế r, thằng sỉ nhục tổ quốc!!!

xl mk thấy tên bn ghê wa

Giả sử 6 số bất kỳ là a, b, c, d, e, f. Ta thấy rằng khi chia cho 5 dư 0,1,2,3,4. Ta thấy chỉ có 5 số dư vậy khi chọn 6 số bất kỳ sẽ có 2 số có cùng số dư nên hiệu của chúng sẽ kết thúc là số 0. Vậy trong 6 số bất kỳ có ít nhất 2 số mà hiệu của chúng chia hết cho 5.