chứng minh rằng :
a, nếu \(a\equiv1\) ( mod 2 ) thì \(a^2\equiv1\) ( mod 8 )
b, nếu \(a\equiv1\) ( mod 3 ) thì \(a^3\equiv1\) ( mod 9 )
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 2 2019 lúc 14:49
Chứng minh rằng :
a, Nếu \(a\equiv1\)(mod 2 ) thì \(a^2\equiv1\)
b, Nếu \(a\equiv1\)(mod 3) thì \(a^3\equiv1\)
Ta có : a=1 (gt)=> a^2 =1.1=1=a
=> a^3 =1.1.1=1=a
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng mφ(n)+ nφ(m)\(\equiv1\)(mod m.n) với mọi m;n>1 ,(m;n)=1
Lời giải:
Vì $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên theo định lý Euler ta có:
\(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\\ n^{\varphi (m)}\equiv 0 \pmod n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod n\) (1)
Tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi (n)}\equiv 0\pmod m\\ n^{ \varphi (m)}\equiv 1\pmod m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod m\) (2)
Từ (1) và (2) ta có thể đặt \(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mk+1=nt+1\)
(trong đó \(k,t\in\mathbb{N}\) )
\(\Rightarrow mk=nt\Rightarrow mk\vdots n\). Mà (m,n) nguyên tố cùng nhau nên \(k\vdots n\Rightarrow k=nu (u\in\mathbb{N})\)
Khi đó:
\(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mnu+1\Leftrightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)} \equiv 1\pmod {mn}\)
Ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt. chứng minh rằng \(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1\) (mod pq)
Lời giải:
Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi snt $p,q$ mà $(p,q)=1$ ta luôn có:
\(\left\{\begin{matrix} p^{q-1}\equiv 1\pmod q\\ q^{p-1}\equiv 1\pmod p\end{matrix}\right.\)Mà \(\left\{\begin{matrix} q^{p-1}\equiv 0\pmod q\\ p^{q-1}\equiv 0\pmod p\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod q\\ q^{p-1}+p^{q-1}\equiv 1\pmod p\end{matrix}\right.\)
Đặt \(p^{q-1}+q^{p-1}=qm+1=pn+1\)
\(\Rightarrow qm=pn\). Mà $(p,q)=1$ nên \(qm\vdots p\Rightarrow m\vdots p\). Đặt \(m=pm_1\)
Khi đó: \(p^{q-1}+q^{p-1}=qm+1=qpm_1+1\equiv 1\pmod {pq}\)
Ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh p là số nguyên tố khi và chỉ khi \(\left(p-2\right)!\equiv1\)(mod p)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n mà \(n\equiv1\) ( mod 4) thì
\(\dfrac{n.\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)}{2}=P\) luôn luôn không thể là số lập phương
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn gợi ý giúp đỡ với ạ, em cám ơn nhiều ạ!
Đặt \(n=4k+1\) thì \(P=\dfrac{\left(4k+1\right)\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)\left(4k+6\right)}{2}=8\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Dẫn đến \(Q=\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Lại có \(\left(2k+1,4k+1\right)=1;\left(2k+1,k+1\right)=1;\left(2k+1,2k+3\right)=1\) nên \(\left(2k+1,\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\right)=1\).
Do đó để Q là số lập phương thì \(2k+1\) và \(R=\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Mặt khác, ta có \(R=8k^3+22k^2+17k+3\)
\(\Rightarrow8k^3+12k^2+6k+1=\left(2k+1\right)^3< R< 8k^3+24k^2+24k+8=\left(2k+2\right)^3\) nên \(R\) không thể là số lập phương.
Vậy...
Đúng 2
Bình luận (1)
CHỨNG MINH RẰNG:
a) Nếu a đồng dư với 1 ( mod 2) thì a2 đồng dư với 1 ( mod 8)
b) Nếu a đồng dư với 1 ( mod 3) thì a2 đồng dư với 1 ( mod 9)
Chứng minh rằng .; Nếu p là một số ngyên tố và ko là ước của số nguyên a thì \(a^{p-1}\equiv1\left(modp\right)\)
Cho aϵZ. CMR:
a) Nếu a đồng dư 1 (mod 2) thì a2 đồng dư 1 (mod 8).
b) Nếu a đồng dư 1 (mod 3) thì a3 đồng dư 1 (mod 9)
Lời giải:
a)
$a\equiv 1\pmod 2$ nên $a$ có dạng $2k+1$ $(k\in\mathbb{Z}$
Khi đó:
$a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$
Vì $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$
$\Rightarrow 4k(k+1)\vdots 8$
$\Rightarrow a^2=4k(k+1)+1$ chia $8$ dư $1$ hay $a^2\equiv 1\pmod 8$
b)
$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a-1\equiv 0\pmod 3(1)$ hay
Lại có:
$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a^2+a+1\equiv 1+1+1\equiv 0\pmod 3(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow (a-1)(a^2+a+1)\equiv 0\pmod 9$
hay $a^3-1\equiv 0\pmod 9\Leftrightarrow a^3\equiv 1\pmod 9$
Chứng minh rằng : Nếu a \(\equiv\)1 (mod 2) thì a2 \(\equiv\)1 (mod 8)