Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)

\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)

                  \(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)

bài này mà giải theo SOS là hơi bị tuyệt vời nhé =)))

em moi co lop 7

em mới có lớp 6 thôi mà

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM_GM kết hợp với $abc=1$:

\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3a\). Tương tự với các phân thức khác

\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+3\geq 3(a+b+c)\)

Tiếp tục áp dụng AM_GM:

\(\frac{b}{a}+b^2c^2a+c\geq 3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc......\), công theo vế và rút gọn

\(\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng hai BĐT thu được lại, ta có:

\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\geq 2\left(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Dễ thấy các hệ số tương đồng nhau nên có thể biến đổi bđt về dạng sau : 

\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\right)\ge5\)

Ta đi chứng minh bđt phụ sau : \(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)(1)

\(Bđt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}-\frac{7}{3}+\frac{2a}{3}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\frac{3+2a^4-7a^2+2a^3}{3a^2}\ge0\)

              \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^4-2a^2+1\right)+2a^3-3a^2+1}{3a^2}\ge0\)

           \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2-1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a^2-1\right)}{3a^2}\ge0\)

         \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{3a^2}\ge0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+2a^2-a-1\right]}{3a^2}\ge0\)

     \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)\left(2a+1\right)\right]}{3a^2}\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left[2\left(a+1\right)^2+2a+1\right]}{3a^2}\ge0\)(Luôn đúng do a > 0 nên [...] > 0)

Dấu "=" <=> a = 1

Thiết lập các bđt còn lại \(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2b}{3}\)

                                      \(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2c}{3}\)

Cộng 3 vế của bdtd lại ta được

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge7-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=7-\frac{2.3}{3}=5\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Tìm điểm rơi a=b=c=1 Min=5

Rồi áp dụng UCT giải

bđt phụ sai mà cũng ko đc chuẩn hóa

\(\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)

tương tự \(\frac{\Rightarrow ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2}\le\frac{3}{2}\)

=>Thắng Nguyễn :cm theo cách đó sai

SOS cho khỏe :v 

WLOG \(a\ge b\ge c\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(b^2Σ_{cyc}\left(a^3+\frac{4ab}{a^2+b^2}-3\right)=b^2\left(Σ_{cyc}(a^3-abc)-2Σ_{cyc}\left(1-\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)\right)\)

\(=b^2Σ_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2}{a^2+b^2}\right)=\frac{b^2}{2}Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2((a+b+c)(a^2+b^2)-4abc)}{a^2+b^2}\)

\(\ge\frac{b^2}{2}Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2((a+b+c)2ab-4abc)}{a^2+b^2}=b^2Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2ab(a+b-c)}{a^2+b^2}\)

\(\ge\frac{b^2(a-c)^2ac(a+c-b)}{a^2+c^2}+\frac{b^2(b-c)^2bc(b+c-a)}{b^2+c^2}\)

\(\ge\frac{a^2(b-c)^2ac(a-b)}{a^2+c^2}+\frac{b^2(b-c)^2bc(b-a)}{b^2+c^2}\)

\(=\frac{abc^3(a+b)(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\ge0\) (đúng :v)