Lôgic toán là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm cả hai phần: Nghiên cứu toán học về logic và những ứng dụng của logic hình thức trong các ngành khác của toán học. Các chủ đề thống nhất trong logic toán học bao gồm các nghiên cứu về sức mạnh ý nghĩa của các hệ thống hình thức và sức mạnh suy diễn của hệ thống chứng minh chính thức.

Ngành này thường được chia thành các lĩnh vực con như lý thuyết mô hình (model theory), lý thuyết chứng minh (proof theory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy (recursion theory). Nghiên cứu về lôgic toán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations of mathematics).

Các tên gọi cũ của lôgic toán là lôgic ký hiệu (để đối lập với lôgic triết học) hay mêta toán học.

Lôgic toán không phải là lôgic của toán học mà là toán học của lôgic. Ngành này bao gồm những phần của lôgic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toán học. Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy toán học như lý thuyết mô hình và lý thuyết đệ quy, trong đó, khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm.logic toán học thể hiện ở cách làm bài. Một bài toán được coi là lôgic thì phải đảm bảo sự chặt chẽ, cách lập luận hợp lý và tuân thủ theo từng bước của bài toán.

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số),[2] cấu trúc,[3] không gian, và sự thay đổi.[4][5][6]Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học.[7][8]

Các nhà toán học tìm kiếm các mô thức[9][10] và sử dụng chúng để tạo ra những giả thuyết mới. Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng các chứng minh toán học. Khi những cấu trúc toán học là mô hình tốt cho hiện thực, lúc đó suy luận toán học có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên đoán về tự nhiên. Thông qua việc sử dụng những phương pháp trừu tượng và lôgic, toán học đã phát triển từ việc đếm, tính toán, đo lường, và nghiên cứu có hệ thống những hình dạng và chuyển động của các đối tượng vật lý. Con người đã ứng dụng toán học trong đời sống từ xa xưa. Việc tìm lời giải cho những bài toán có thể mất hàng năm, hay thậm chí hàng thế kỷ.[11]

Những lập luận chặt chẽ xuất hiện trước tiên trong nền toán học Hy Lạp cổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác phẩm Cơ sở của Euclid. Kể từ những công trình tiên phong của Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943), và của những nhà toán học khác trong thế kỷ 19 về các hệ thống tiên đề, nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập chân lý thông qua suy luận lôgic chặt chẽ từ những tiên đề và định nghĩa thích hợp. Toán học phát triển tương đối chậm cho tới thời Phục hưng, khi sự tương tác giữa những phát minh toán học với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng những phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay.[12]

Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy.[13]

Mục lục

1Lịch sử

2Cảm hứng, thuần túy ứng dụng, và vẻ đẹp

3Ký hiệu, ngôn ngữ, tính chặt chẽ

4Các lĩnh vực toán học

4.1Nền tảng và triết học

4.2Toán học thuần túy

4.2.1Lượng

4.2.2Cấu trúc

4.2.3Không gian

4.2.4Sự thay đổi

4.3Toán học ứng dụng

4.3.1Thống kê và những lĩnh vực liên quan

4.3.2Toán học tính toán

5Giải thưởng toán học và những bài toán chưa giải được

6Mối quan hệ giữa toán học và khoa học

7Xem thêm

8Chú thích

9Tham khảo

10Liên kết ngoài

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

📷Nhà toán học Hy Lạp Pythagoras (khoảng 570–495 trước Tây lịch), được coi là đã phát minh ra định lý Pythagore.Bài chi tiết: Lịch sử toán học📷Nhà toán học Ba Tư Al-Khwarizmi (Khoảng 780-850 TCN), người phát minh ra Đại số.

Từ "mathematics" trong tiếng Anh bắt nguồn từ μάθημα (máthēma) trong tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa là "thứ học được",[14] "những gì người ta cần biết," và như vậy cũng có nghĩa là "học" và "khoa học"; còn trong tiếng Hy Lạp hiện đại thì nó chỉ có nghĩa là "bài học." Từ máthēma bắt nguồn từ μανθάνω (manthano), từ tương đương trong tiếng Hy Lạp hiện đại là μαθαίνω (mathaino), cả hai đều có nghĩa là "học." Trong tiếng Việt, "toán" có nghĩa là tính; "toán học" là môn học về toán số.[15] Trong các ngôn ngữ sử dụng từ vựng gốc Hán khác, môn học này lại được gọi là số học.

Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua một loạt gia tăng không ngừng về những phép trừu tượng, hay qua sự mở rộng của nội dung ngành học. Phép trừu tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được,[16] có lẽ là về các con số, với nhận thức rằng, chẳng hạn, một nhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam có cái gì đó chung, ở đây là số lượng quả trong mỗi nhóm.

Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy, ngoài việc biết đếm những vật thể vật lý, con người thời tiền sử có thể cũng đã biết đếm những đại lượng trừu tượng như thời gian - ngày, mùa, và năm.[17]

Đến khoảng năm 3000 trước Tây lịch thì toán học phức tạp hơn mới xuất hiện, khi người Babylon và người Ai Cập bắt đầu sử dụng số học, đại số, và hình học trong việc tính thuế và những tính toán tài chính khác, trong xây dựng, và trong quan sát thiên văn.[18] Toán học được sử dụng sớm nhất trong thương mại, đo đạc đất đai, hội họa, dệt, và trong việc ghi nhớ thời gian.

Các phép tính số học căn bản trong toán học Babylon (cộng, trừ, nhân, và chia) xuất hiện đầu tiên trong các tài liệu khảo cổ. Giữa năm 600 đến 300 trước Tây lịch, người Hy Lạp cổ đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống về toán học như một ngành học riêng, hình thành nên toán học Hy Lạp.[19] Kể từ đó toán học đã phát triển vượt bậc; sự tương tác giữa toán học và khoa học đã đem lại nhiều thành quả và lợi ích cho cả hai. Ngày nay, những phát minh toán học mới vẫn tiếp tục xuất hiện.

Cảm hứng, thuần túy ứng dụng, và vẻ đẹp[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Vẻ đẹp của toán học📷Isaac Newton (1643–1727), một trong những người phát minh ra vi tích phân.

Toán học nảy sinh ra từ nhiều kiểu bài toán khác nhau. Trước hết là những bài toán trong thương mại, đo đạc đất đai, kiến trúc, và sau này là thiên văn học; ngày nay, tất cả các ngành khoa học đều gợi ý những bài toán để các nhà toán học nghiên cứu, ngoài ra còn nhiều bài toán nảy sinh từ chính bản thân ngành toán. Chẳng hạn, nhà vật lý Richard Feynman đã phát minh ra tích phân lộ trình (path integral) cho cơ học lượng tử bằng cách kết hợp suy luận toán học với sự hiểu biết sâu sắc về mặt vật lý, và lý thuyết dây - một lý thuyết khoa học vẫn đang trong giai đoạn hình thành với cố gắng thống nhất tất cả các tương tác cơ bản trong tự nhiên - tiếp tục gợi hứng cho những lý thuyết toán học mới.[20] Một số lý thuyết toán học chỉ có ích trong lĩnh vực đã giúp tạo ra chúng, và được áp dụng để giải các bài toán khác trong lĩnh vực đó. Nhưng thường thì toán học sinh ra trong một lĩnh vực có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực, và đóng góp vào kho tàng các khái niệm toán học.

Các nhà toán học phân biệt ra hai ngành toán học thuần túy và toán học ứng dụng. Tuy vậy các chủ đề toán học thuần túy thường tìm thấy một số ứng dụng, chẳng hạn như lý thuyết số trong ngành mật mã học. Việc ngay cả toán học "thuần túy nhất" hóa ra cũng có ứng dụng thực tế chính là điều mà Eugene Wigner gọi là "sự hữu hiệu đến mức khó tin của toán học".[21] Giống như trong hầu hết các ngành học thuật, sự bùng nổ tri thức trong thời đại khoa học đã dẫn đến sự chuyên môn hóa: hiện nay có hàng trăm lĩnh vực toán học chuyên biệt và bảng phân loại các chủ đề toán học đã dài tới 46 trang.[22] Một vài lĩnh vực toán học ứng dụng đã nhập vào những lĩnh vực liên quan nằm ngoài toán học và trở thành những ngành riêng, trong đó có xác suất, vận trù học, và khoa học máy tính.

Những ai yêu thích ngành toán thường thấy toán học có một vẻ đẹp nhất định. Nhiều nhà toán học nói về "sự thanh lịch" của toán học, tính thẩm mỹ nội tại và vẻ đẹp bên trong của nó. Họ coi trọng sự giản đơn và tính tổng quát. Vẻ đẹp ẩn chứa cả bên trong những chứng minh toán học đơn giản và gọn nhẹ, chẳng hạn chứng minh của Euclid cho thấy có vô hạn số nguyên tố, và trong những phương pháp số giúp đẩy nhanh các phép tính toán, như phép biến đổi Fourier nhanh. Trong cuốn sách Lời bào chữa của một nhà toán học (A Mathematician's Apology) của mình, G. H. Hardy tin rằng chính những lý do về mặt thẩm mỹ này đủ để biện minh cho việc nghiên cứu toán học thuần túy. Ông nhận thấy những tiêu chuẩn sau đây đóng góp vào một vẻ đẹp toán học: tầm quan trọng, tính không lường trước được, tính không thể tránh được, và sự ngắn gọn.[23] Sự phổ biến của toán học vì mục đích giải trí là một dấu hiệu khác cho thấy nhiều người tìm thấy sự sảng khoái trong việc giải toán...

Ký hiệu, ngôn ngữ, tính chặt chẽ[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Danh sách ký hiệu toán học📷Leonhard Euler, người tạo ra và phổ biến hầu hết các ký hiệu toán học được dùng ngày nay.

Hầu hết các ký hiệu toán học đang dùng ngày nay chỉ mới được phát minh vào thế kỷ 16.[24] Trước đó, toán học được viết ra bằng chữ, quá trình nhọc nhằn này đã cản trở sự phát triển của toán học.[25] Euler (1707–1783) là người tạo ra nhiều trong số những ký hiệu đang được dùng ngày nay. Ký hiệu hiện đại làm cho toán học trở nên dễ hơn đối với chuyên gia toán học, nhưng người mới bắt đầu học toán thường thấy nản lòng. Các ký hiệu cực kỳ ngắn gọn: một vài biểu tượng chứa đựng rất nhiều thông tin. Giống ký hiệu âm nhạc, ký hiệu toán học hiện đại có cú pháp chặt chẽ và chứa đựng thông tin khó có thể viết theo một cách khác đi.

Ngôn ngữ toán học có thể khó hiểu đối với người mới bắt đầu. Những từ như hoặc và chỉ có nghĩa chính xác hơn so với trong lời nói hàng ngày. Ngoài ra, những từ như mở và trường đã được cho những nghĩa riêng trong toán học. Những thuật ngữ mang tính kỹ thuật như phép đồng phôi và khả tích có nghĩa chính xác trong toán học. Thêm vào đó là những cụm từ như nếu và chỉ nếu nằm trong thuật ngữ chuyên ngành toán học. Có lý do tại sao cần có ký hiệu đặc biệt và vốn từ vựng chuyên ngành: toán học cần sự chính xác hơn lời nói thường ngày. Các nhà toán học gọi sự chính xác này của ngôn ngữ và logic là "tính chặt chẽ."

Các lĩnh vực toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Các lĩnh vực toán học

Nói chung toán học có thể được chia thành các ngành học về lượng, cấu trúc, không gian, và sự thay đổi (tức là số học, đại số, hình học, và giải tích). Ngoài những mối quan tâm chính này, toán học còn có những lĩnh vực khác khảo sát mối quan hệ giữa toán học và những ngành khác, như với logic và lý thuyết tập hợp, toán học thực nghiệm trong những ngành khoa học khác nhau (toán học ứng dụng), và gần đây hơn là sự nghiên cứu chặt chẽ về tính bất định.

Nền tảng và triết học[sửa | sửa mã nguồn]

📷Kurt Gödel là một trong những nhà logic toán học lớn, với các định lý bất toàn.

Để làm rõ nền tảng toán học, lĩnh vực logic toán học và lý thuyết tập hợp đã được phát triển. Logic toán học bao gồm nghiên cứu toán học về logic và ứng dụng của logic hình thức trong những lĩnh vực toán học khác. Lý thuyết tập hợp là một nhánh toán học nghiên cứu các tập hợp hay tập hợp những đối tượng. Lý thuyết phạm trù, liên quan đến việc xử lý các cấu trúc và mối quan hệ giữa chúng bằng phương pháp trừu tượng, vẫn đang tiếp tục phát triển. Cụm từ "khủng hoảng nền tảng" nói đến công cuộc tìm kiếm một nền tảng toán học chặt chẽ diễn ra từ khoảng năm 1900 đến 1930.[26] Một số bất đồng về nền tảng toán học vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Cuộc khủng hoảng nền tảng nổi lên từ một số tranh cãi thời đó, trong đó có những tranh cãi liên quan đến lý thuyết tập hợp của Cantor và cuộc tranh cãi giữa Brouwer và Hilbert.

Khoa học máy tính lý thuyết bao gồm lý thuyết khả tính (computability theory), lý thuyết độ phức tạp tính toán, và lý thuyết thông tin. Lý thuyết khả tính khảo sát những giới hạn của những mô hình lý thuyết khác nhau về máy tính, bao gồm mô hình máy Turing nổi tiếng. Lý thuyết độ phức tạp nghiên cứu khả năng có thể giải được bằng máy tính; một số bài toán, mặc dù về lý thuyết có thể giải được bằng máy tính, cần thời gian hay không gian tính toán quá lớn, làm cho việc tìm lời giải trong thực tế gần như không thể, ngay cả với sự tiến bộ nhanh chóng của phần cứng máy tính. Một ví dụ là bài toán nổi tiếng "P = NP?".[27] Cuối cùng, lý thuyết thông tin quan tâm đến khối lượng dữ liệu có thể lưu trữ được trong một môi trường lưu trữ nhất định, và do đó liên quan đến những khái niệm như nén dữ liệu và entropy thông tin.

{\displaystyle p\Rightarrow q\,}📷📷📷📷Logic toán họcLý thuyết tập hợpLý thuyết phạm trùLý thuyết tính toán

Toán học thuần túy[sửa | sửa mã nguồn]

Lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Việc nghiên cứu về lượng (quantity) bắt đầu với các con số, trước hết với số tự nhiên và số nguyên và các phép biến đổi số học, nói đến trong lĩnh vực số học. Những tính chất sâu hơn về các số nguyên được nghiên cứu trong lý thuyết số, trong đó có định lý lớn Fermat nổi tiếng. Trong lý thuyết số, giả thiết số nguyên tố sinh đôi và giả thiết Goldbach là hai bài toán chưa giải được.

Khi hệ thống số được phát triển thêm, các số nguyên được xem như là tập con của các số hữu tỉ. Các số này lại được bao gồm trong số thực vốn được dùng để thể hiện những đại lượng liên tục. Số thực được tổng quát hóa thành số phức. Đây là những bước đầu tiên trong phân bố các số, sau đó thì có các quaternion (một sự mở rộng của số phức) và octonion. Việc xem xét các số tự nhiên cũng dẫn đến các số vô hạn (transfinite numbers), từ đó chính thức hóa khái niệm "vô hạn". Một lĩnh vực nghiên cứu khác là kích cỡ (size), từ đó sinh ra số đếm (cardinal numbers) và rồi một khái niệm khác về vô hạn: số aleph, cho phép thực hiện so sánh có ý nghĩa kích cỡ của các tập hợp lớn vô hạn.

{\displaystyle 1,2,3,\ldots \!}📷{\displaystyle \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots \!}📷{\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!}📷{\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!}📷{\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!}📷Số tự nhiênSố nguyênSố hữu tỉSố thựcSố phức

Cấu trúc[sửa | sửa mã nguồn]

Nhiều đối tượng toán học, chẳng hạn tập hợp những con số và những hàm số, thể hiện cấu trúc nội tại toát ra từ những phép biến đổi toán học hay những mối quan hệ được xác định trên tập hợp. Toán học từ đó nghiên cứu tính chất của những tập hợp có thể được diễn tả dưới dạng cấu trúc đó; chẳng hạn lý thuyết số nghiên cứu tính chất của tập hợp những số nguyên có thể được diễn tả dưới dạng những phép biến đổi số học. Ngoài ra, thường thì những tập hợp có cấu trúc (hay những cấu trúc) khác nhau đó thể hiện những tính chất giống nhau, khiến người ta có thể xây dựng nên những tiên đề cho một lớp cấu trúc, rồi sau đó nghiên cứu đồng loạt toàn bộ lớp cấu trúc thỏa mãn những tiên đề này. Do đó người ta có thể nghiên cứu các nhóm, vành, trường, và những hệ phức tạp khác; những nghiên cứu như vậy (về những cấu trúc được xác định bởi những phép biến đổi đại số) tạo thành lĩnh vực đại số trừu tượng. Với mức độ tổng quát cao của mình, đại số trừu tượng thường có thể được áp dụng vào những bài toán dường như không liên quan gì đến nhau. Một ví dụ về lý thuyết đại số là đại số tuyến tính, lĩnh vực nghiên cứu về các không gian vectơ, ở đó những yếu tố cấu thành nó gọi là vectơ có cả lượng và hướng và chúng có thể được dùng để mô phỏng các điểm (hay mối quan hệ giữa các điểm) trong không gian. Đây là một ví dụ về những hiện tượng bắt nguồn từ những lĩnh vực hình học và đại sốban đầu không liên quan gì với nhau nhưng lại tương tác rất mạnh với nhau trong toán học hiện đại. Toán học tổ hợp nghiên cứu những cách tính số lượng những đối tượng có thể xếp được vào trong một cấu trúc nhất định.

{\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}📷📷📷📷📷📷Toán học tổ hợpLý thuyết sốLý thuyết nhómLý thuyết đồ thịLý thuyết trật tựĐại số

Không gian[sửa | sửa mã nguồn]

Việc nghiên cứu không gian bắt đầu với hình học - cụ thể là hình học Euclid. Lượng giác là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác và với các hàm lượng giác; nó kết hợp không gian và các con số, và bao gồm định lý Pythagore nổi tiếng. Ngành học hiện đại về không gian tổng quát hóa những ý tưởng này để bao gồm hình học nhiều chiều hơn, hình học phi Euclide (đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tương đối tổng quát), và tô pô. Cả lượng và không gian đều đóng vai trò trong hình học giải tích, hình học vi phân, và hình học đại số. Hình học lồi và hình học rời rạc trước đây được phát triển để giải các bài toán trong lý thuyết số và giải tích phiếm hàm thì nay đang được nghiên cứu cho các ứng dụng trong tối ưu hóa (tối ưu lồi) và khoa học máy tính (hình học tính toán). Trong hình học vi phân có các khái niệm bó sợi (fiber bundles) và vi tích phân trên các đa tạp, đặc biệt là vi tích phân vectơ và vi tích phân tensor. Hình học đại số thì mô tả các đối tượng hình học dưới dạng lời giải là những tập hợp phương trình đa thức, cùng với những khái niệm về lượng và không gian, cũng như nghiên cứu về các nhóm tô-pô kết hợp cấu trúc và không gian. Các nhóm Lie được dùng để nghiên cứu không gian, cấu trúc, và sự thay đổi. Tô pô trong tất cả những khía cạnh của nó có thể là một lĩnh vực phát triển vĩ đại nhất của toán học thế kỷ 20; nó bao gồm tô-pô tập hợp điểm (point-set topology), tô-pô lý thuyết tập hợp (set-theoretic topology), tô-pô đại số và tô-pô vi phân (differential topology). Trong đó, những chủ đề của tô-pô hiện đại là lý thuyết không gian mêtric hóa được (metrizability theory), lý thuyết tập hợp tiên đề (axiomatic set theory), lý thuyết đồng luân (homotopy theory), và lý thuyết Morse. Tô-pô cũng bao gồm giả thuyết Poincaré nay đã giải được, và giả thuyết Hodge vẫn chưa giải được. Những bài toán khác trong hình học và tô-pô, bao gồm định lý bốn màu và giả thiết Kepler, chỉ giải được với sự trợ giúp của máy tính.

📷📷📷📷📷📷Hình họcLượng giácHình học vi phânTô pôHình học fractalLý thuyết về độ đo

Sự thay đổi[sửa | sửa mã nguồn]

Hiểu và mô tả sự thay đổi là chủ đề thường gặp trong các ngành khoa học tự nhiên. Vi tích phân là một công cụ hiệu quả đã được phát triển để nghiên cứu sự thay đổi đó. Hàm sốtừ đây ra đời, như một khái niệm trung tâm mô tả một đại lượng đang thay đổi. Việc nghiên cứu chặt chẽ các số thực và hàm số của một biến thực được gọi là giải tích thực, với số phức thì có lĩnh vực tương tự gọi là giải tích phức. Giải tích phiếm hàm (functional analysis) tập trung chú ý vào những không gian thường là vô hạn chiều của hàm số. Một trong nhiều ứng dụng của giải tích phiếm hàm là trong cơ học lượng tử (ví dụ: lý thuyết phiếm hàm mật độ). Nhiều bài toán một cách tự nhiên dẫn đến những mối quan hệ giữa lượng và tốc độ thay đổi của nó, rồi được nghiên cứu dưới dạng các phương trình vi phân. Nhiều hiện tượng trong tự nhiên có thể được mô tả bằng những hệ thống động lực; lý thuyết hỗn độn nghiên cứu cách thức theo đó nhiều trong số những hệ thống động lực này thể hiện những hành vi không tiên đoán được nhưng vẫn có tính tất định.

📷📷📷📷📷📷Vi tích phânVi tích phân vec-tơPhương trình vi phânHệ thống động lựcLý thuyết hỗn độnGiải tích phức

Toán học ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học ứng dụng quan tâm đến những phương pháp toán học thường được sử dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh doanh, và công nghiệp. Như vậy, "toán học ứng dụng" là một ngành khoa học toán học với kiến thức đặc thù. Thuật ngữ toán học ứng dụng cũng được dùng để chỉ lĩnh vực chuyên nghiệp, ở đó các nhà toán học giải quyết các bài toán thực tế. Với tư cách là một ngành nghề chú trọng vào các bài toán thực tế, toán học ứng dụng tập trung vào "việc thiết lập, nghiên cứu, và sử dụng những mô hình toán học" trong khoa học, kỹ thuật, và những lĩnh vực thực hành toán học khác. Trước đây, những ứng dụng thực tế đã thúc đẩy sự phát triển các lý thuyết toán học, để rồi sau đó trở thành chủ đề nghiên cứu trong toán học thuần túy, nơi toán học được phát triển chủ yếu cho chính nó. Như vậy, hoạt động của toán học ứng dụng nhất thiết có liên hệ đến nghiên cứu trong lĩnh vực toán học thuần túy.

Thống kê và những lĩnh vực liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học ứng dụng có nhiều phần chung với thống kê, đặc biệt với lý thuyết xác suất. Các nhà thống kê, khi làm việc trong một công trình nghiên cứu, "tạo ra số liệu có ý nghĩa" sử dụng phương pháp tạo mẫu ngẫu nhiên (random sampling) và những thí nghiệm được ngẫu nhiên hóa (randomized experiments);[28] việc thiết kế thí nghiệm hay mẫu thống kê xác định phương pháp phân tích số liệu (trước khi số liệu được tạo ra). Khi xem xét lại số liệu từ các thí nghiệm và các mẫu hay khi phân tích số liệu từ những nghiên cứu bằng cách quan sát, các nhà thống kê "làm bật ra ý nghĩa của số liệu" sử dụng phương pháp mô phỏng và suy luận – qua việc chọn mẫu và qua ước tính; những mẫu ước tính và những tiên đoán có được từ đó cần được thử nghiệm với những số liệu mới.[29]

Lý thuyết thống kê nghiên cứu những bài toán liên quan đến việc quyết định, ví dụ giảm thiểu nguy cơ (sự tổn thất được mong đợi) của một hành động mang tính thống kê, chẳng hạn sử dụng phương pháp thống kê trong ước tính tham số, kiểm nghiệm giả thuyết, và chọn ra tham số cho kết quả tốt nhất. Trong những lĩnh vực truyền thống này của thống kê toán học, bài toán quyết định-thống kê được tạo ra bằng cách cực tiểu hóa một hàm mục tiêu (objective function), chẳng hạn giá thành hay sự mất mát được mong đợi, dưới những điều kiện nhất định.[30] Vì có sử dụng lý thuyết tối ưu hóa, lý thuyết toán học về thống kê có chung mối quan tâm với những ngành khoa học khác nghiên cứu việc quyết định, như vận trù học, lý thuyết điều khiển, và kinh tế học toán.[31]

Toán học tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học tính toán đưa ra và nghiên cứu những phương pháp giải các bài toán toán học mà con người thường không có khả năng giải số được. Giải tích số nghiên cứu những phương pháp giải các bài toán trong giải tích sử dụng giải tích phiếm hàm và lý thuyết xấp xỉ; giải tích số bao gồm việc nghiên cứu xấp xỉ và rời rạc hóa theo nghĩa rộng, với sự quan tâm đặc biệt đến sai số làm tròn (rounding errors). Giải tích số và nói rộng hơn tính toán khoa học (scientific computing) cũng nghiên cứu những chủ đề phi giải tích như khoa học toán học, đặc biệt là ma trận thuật toán và lý thuyết đồ thị. Những lĩnh vực khác của toán học tính toán bao gồm đại số máy tính (computer algebra) và tính toán biểu tượng(symbolic computation).

📷📷📷📷📷📷📷Vật lý toán họcThủy động lực họcGiải tích sốTối ưu hóaLý thuyết xác suấtThống kêMật mã học📷📷📷📷📷 📷📷Tài chính toánLý thuyết trò chơiSinh học toánHóa học toánToán sinh họcKinh tế toánLý thuyết điều khiển

Giải thưởng toán học và những bài toán chưa giải được[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể nói giải thưởng toán học danh giá nhất là Huy chương Fields,[32][33] thiết lập vào năm 1936 và nay được trao bốn năm một lần cho 2 đến 4 nhà toán học có độ tuổi dưới 40. Huy chương Fields thường được xem là tương đương với Giải Nobel trong những lĩnh vực khác. (Giải Nobel không xét trao thưởng trong lĩnh vực toán học) Một số giải thưởng quốc tế quan trọng khác gồm có: Giải Wolf về Toán học (thiết lập vào năm 1978) để ghi nhận thành tựu trọn đời; Giải Abel (thiết lập vào năm 2003) dành cho những nhà toán học xuất chúng; Huy chương Chern (thiết lập vào năm 2010) để ghi nhận thành tựu trọn đời.

Năm 1900, nhà toán học người Đức David Hilbert biên soạn một danh sách gồm 23 bài toán chưa có lời giải (còn được gọi là Các bài toán của Hilbert). Danh sách này rất nổi tiếng trong cộng đồng các nhà toán học, và ngày nay có ít nhất chín bài đã được giải. Một danh sách mới bao gồm bảy bài toán quan trọng, gọi là "Các bài toán của giải thiên niên kỷ" (Millennium Prize Problems), đã được công bố vào năm 2000, ai giải được một trong số các bài toán này sẽ được trao giải một triệu đô-la. Chỉ có một bài toán từ danh sách của Hilbert (cụ thể là giả thuyết Riemann) trong danh sách mới này. Tới nay, một trong số bảy bài toán đó (giả thuyết Poincaré) đã có lời giải.

Mối quan hệ giữa toán học và khoa học[sửa | sửa mã nguồn]

Carl Friedrich Gauss, người được xem là "hoàng tử của toán học."[34]

Gauss xem toán học là "nữ hoàng của các ngành khoa học".[35] Trong cụm từ La-tinh Regina Scientiarum và cụm từ tiếng Đức Königin der Wissenschaften (cả hai đều có nghĩa là "nữ hoàng của các ngành khoa học"), từ chỉ "khoa học" có nghĩa là "lĩnh vực tri thức," và đây cũng chính là nghĩa gốc của từ science (khoa học) trong tiếng Anh; như vậy toán học là một lĩnh vực tri thức. Sự chuyên biệt hóa giới hạn nghĩa của "khoa học" vào "khoa học tự nhiên" theo sau sự phát triển của phương pháp luận Bacon, từ đó đối lập "khoa học tự nhiên" với phương pháp kinh viện, phương pháp luận Aristotle nghiên cứu từ những nguyên lý cơ sở. So với các ngành khoa học tự nhiên như sinh học hay vật lý học thì thực nghiệm và quan sát thực tế có vai trò không đáng kể trong toán học. Albert Einstein nói rằng "khi các định luật toán học còn phù hợp với thực tại thì chúng không chắc chắn; và khi mà chúng chắc chắn thì chúng không còn phù hợp với thực tại."[36] Mới đây hơn, Marcus du Sautoy đã gọi toán học là "nữ hoàng của các ngành khoa học;... động lực thúc đẩy chính đằng sau những phát kiến khoa học."[37]

Nhiều triết gia tin rằng, trong toán học, tính có thể chứng minh được là sai (falsifiability) không thể thực hiện được bằng thực nghiệm, và do đó toán học không phải là một ngành khoa học theo như định nghĩa của Karl Popper.[38] Tuy nhiên, trong thập niên 1930, các định lý về tính không đầy đủ (incompleteness theorems) của Gödel đưa ra gợi ý rằng toán học không thể bị quy giảm về logic mà thôi, và Karl Popper kết luận rằng "hầu hết các lý thuyết toán học, giống như các lý thuyết vật lý và sinh học, mang tính giả định-suy diễn: toán học thuần túy do đó trở nên gần gũi hơn với các ngành khoa học tự nhiên nơi giả định mang tính chất suy đoán hơn hơn mức mà người ta nghĩ."[39]

Một quan điểm khác thì cho rằng một số lĩnh vực khoa học nhất định (như vật lý lý thuyết) là toán học với những tiên đề được tạo ra để kết nối với thực tại. Thực sự, nhà vật lý lý thuyết J. M. Ziman đã cho rằng khoa học là "tri thức chung" và như thế bao gồm cả toán học.[40] Dù sao đi nữa, toán học có nhiều điểm chung với nhiều lĩnh vực trong các ngành khoa học vật lý, đáng chú ý là việc khảo sát những hệ quả logic của các giả định. Trực giác và hoạt động thực nghiệm cũng đóng một vai trò trong việc xây dựng nên các giả thuyết trong toán học lẫn trong những ngành khoa học (khác). Toán học thực nghiệm ngày càng được chú ý trong bản thân ngành toán học, và việc tính toán và mô phỏng đang đóng vai trò ngày càng lớn trong cả khoa học lẫn toán học.

Ý kiến của các nhà toán học về vấn đề này không thống nhất. Một số cảm thấy việc gọi toán học là khoa học làm giảm tầm quan trọng của khía cạnh thẩm mỹ của nó, và lịch sử của nó trong bảy môn khai phóng truyền thống; một số người khác cảm thấy rằng bỏ qua mối quan hệ giữa toán học và các ngành khoa học là cố tình làm ngơ trước thực tế là sự tương tác giữa toán học và những ứng dụng của nó trong khoa học và kỹ thuật đã là động lực chính của những phát triển trong toán học. Sự khác biệt quan điểm này bộc lộ trong cuộc tranh luận triết học về chuyện toán học "được tạo ra" (như nghệ thuật) hay "được khám phá ra" (như khoa học). Các viện đại học thường có một trường hay phân khoa "khoa học và toán học".[41] Cách gọi tên này ngầm ý rằng khoa học và toán học gần gũi với nhau nhưng không phải là một.

Lớp 6A có 25 học sinh thích môn Toán, có 24 học sinh thích môn Văn, trong đó có 13 học sinh thích cả hai môn Toán và Văn. Có 9 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn

a) Dùng sơ đồ vòng tròn để minh họa

- Tập hợp T các học sinh 6A thích Toán 

- Tập hợp V các học sinh 6A thích Văn

- Tập hợp K các học sinh 6A không thích Toán lẫn  Văn

- Tập hợp A các học sinh lớp 6A

b) Trong các tập hợp T, V, K, A có tập hợp nào là tập hợp còn của một tập hợp khác ?

c) Gọi M là tập hợp các học sinh lớp 6A thích cả hai môn Văn  và Toán. Tìm giao của các tập hợp : T và V, T và M, V và M, K và T, K và V

d) Tính số học sinh của lớp 6A

Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó.

Lý thuyết số có thể chia thành một vài lĩnh vực dựa theo phương pháp giải và các dạng bài toán được xem xét. (Xem Danh sách các chủ đề của lý thuyết số).

Cụm từ "số học" cũng được sử dụng để nói đến lý thuyết số. Đây là cụm từ không còn được sử dụng rộng rãi nữa. Tuy nhiên, nó vẫn còn hiện diện trong tên của một số lĩnh vực toán học (hàm số học, số học đường cong elliptic, lý thuyết căn bản của số học). Việc sử dụng cụm từ số học ở đây không nên nhầm lẫn với số học sơ cấp.

Mục lục

1Các lĩnh vực

1.1Lý thuyết số sơ cấp

1.2Lý thuyết số giải tích

1.3Lý thuyết số đại số

1.4Lý thuyết số hình học

1.5Lý thuyết số tổ hợp

1.6Lý thuyết số máy tính

2Lịch sử

2.1Lý thuyết số thời kì Vedic

2.2Lý thuyết số của người Jaina

2.3Lý thuyết số Hellenistic

2.4Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển

2.5Lý thuyết số của người Hồi giáo

2.6Lý thuyết số châu Âu ban đầu

2.7Mở đầu lý thuyết số hiện đại

2.8Lý thuyết số về số nguyên tố

2.9Các thành tựu trong thế kỉ 19

2.10Các thành tựu trong thế kỉ 20

3Danh ngôn

4Tham khảo

5Liên kết ngoài

Các lĩnh vực[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết số sơ cấp, các số nguyên được nghiên cứu mà không cần các kĩ thuật từ các lĩnh vực khác của toán học. Nó nghiên cứu các vấn đề về chia hết, cách sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất, phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố, việc nghiên cứu các số hoàn thiện và đồng dư.

Rất nhiều vấn đề trong lý thuyết số có thể phát biểu dưới ngôn ngữ sơ cấp, nhưng chúng cần những nghiên cứu sâu sắc và những tiếp cận mới bên ngoài lĩnh vực lý thuyết số để giải quyết.

Một số ví dụ:

Giả thuyết Goldbach nói về việc biểu diễn các số chẵn thành tổng của hai số nguyên tố.

Giả thuyết Catalan (bây giờ là định lý Mihăilescu) nói về các lũy thừa nguyên liên tiếp.

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi nói rằng có vô hạn số nguyên tố sinh đôi

Giả thuyết Collazt nói về một dãy đệ quy đơn giản

Định lý lớn Fermat (nêu lên vào năm 1637, đến năm 1994 mới được chứng minh) nói rằng phương trình {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}📷 không có nghiệm nguyên khác không với n lớn hơn 2.

Lý thuyết về phương trình Diophantine thậm chí đã được chứng minh là không có phương pháp chung đề giải (Xem Bài toán thứ 10 của Hilbert)

Lý thuyết số giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết giải tích số sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên. Định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Bài toán Waring(biểu diễn một số nguyên cho trước thành tổng các bình phương, lập phương, v.v...), giả thuyết số nguyên tố sinh đôi và giả thuyết Goldbach cũng đang bị tấn công bởi các phương pháp giải tích. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là π hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết giải tích số. Trong khi những phát biểu về các số siêu việt dường như đã bị loại bỏ khỏi việc nghiên cứu về các số nguyên, chúng thực sự nghiên cứu giá trị của các đa thức với hệ số nguyên tại, ví dụ, e; chúng cũng liên quan mật thiết với lĩnh vực xấp xỉ Diophantine, lĩnh vực nghiên cứu một số thực cho trước có thể xấp xỉ bởi một số hữu tỉ tốt tới mức nào.

Lý thuyết số đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Trong Lý thuyết số đại số, khái niệm của một số được mở rộng thành các số đại số, tức là các nghiệm của các đa thức với hệ số nguyên. Những thứ này bao gồm những thành phần tương tự với các số nguyên, còn gọi là số nguyên đại số. Với khái niệm này, những tính chất quen thuộc của số nguyên (như phân tích nguyên tố duy nhất) không còn đúng. Lợi thế của những công cụ lý thuyết - Lý thuyết Galois, group cohomology, class field theory, biểu diễn nhóm và hàm L - là nó cho phép lấy lại phần nào trật tự của lớp số mới.

Rất nhiều vấn đề lý thuyết số có thể được giải quyết một cách tốt nhất bởi nghiên cứu chúng theo modulo p với mọi số nguyên tố p (xem các trường hữu hạn). Đây được gọi là địa phương hóa và nó dẫn đến việc xây dựng các số p-adic; lĩnh vực nghiên cứu này được gọi là giải tích địa phương và nó bắt nguồn từ lý thuyết số đại sô.

Lý thuyết số hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số hình học (cách gọi truyền thống là (hình học của các số) kết hợp tất cả các dạng hình học. Nó bắt đầu với định lý Minkowski về các điểm nguyên trong các tập lồi và những nghiên cứu về sphere packing.

Lý thuyết số tổ hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số tổ hợp giải quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp trong công thức hoặc cách chứng minh của nó. Paul Erdős là người khởi xướng chính của ngành lý thuyết số này. Những chủ đề thông thường bao gồm hệ bao, bài toán tổng-zero, rất nhiều restricted sumset và cấp số cộng trong một tập số nguyên. Các phương pháp đại số hoặc giải tích rất mạnh trong những lĩnh vực này.

Lý thuyết số máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số máy tính nghiên cứu các thuật toán liên quan đến lý thuyết số. Những thuật toán nhanh chóng để kiểm tra tính nguyên tố và phân tích thừa số nguyên tố có những ứng dụng quan trọng trong mã hóa.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số thời kì Vedic[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhà toán học Ấn Độ đã quan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine từ thời kì Vedic. Những ứng dụng sớm nhất vào hình học của phương trình Diophantine có thể tìm thấy trong kinh Sulba, được viết vào khoảng giữa thế kỉ thứ 8 và thế kỉ thứ 6 trước Công nguyên. Baudhayana (năm 800 TCN) tìm thấy hai tập nghiệm nguyên dương của một hệ các phương trình Diophantine, và cũng sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới bốn ẩn. Apastamba (năm 600) sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới năm ẩn.

Lý thuyết số của người Jaina[sửa | sửa mã nguồn]

Ở Ấn Độ, các nhà toán học Jaina đã phát triển lý thuyết số có hệ thống đầu tiên từ thế kỉ thứ 4 trước Công Nguyên tới thế kỉ thứ 2. Văn tự Surya Prajinapti (năm 400 TCN) phân lớp tất cả các số thành ba tập: đếm được, không đếm được và vô hạn. Mỗi tập này lại được phân thành ba cấp:

Đếm được: thấp nhất, trung bình, và cao nhất.

Không đếm được: gần như không đếm được, thật sự không đếm được, và không đếm được một cách không đếm được.

Vô hạn: gần như vô hạn, thật sự vô hạn, vô hạn một cách vô hạn

Những người Jain là những người đầu tiên không chấp nhận ý tưởng các vô hạn đều như nhau. Họ nhận ra năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hoặc hai hướng (một chiều), vô hạn theo diện tích (hai chiều), vô hạn mọi nơi (ba chiều), và vô hạn liên tục (vô số chiều).

Số đếm được cao nhất N của người Jain tương ứng với khái niệm hiện đại aleph-không {\displaystyle \aleph _{0}}📷 (cardinal number của tập vô hạn các số nguyên 1,2,...), the smallest cardinal transfinite number. Người Jain cũng định nghĩa toàn bộ hệ thống các cardinal number, trong đó {\displaystyle \aleph _{0}}📷 là nhỏ nhất.

Trong công trình của người Jain về lý thuyết tập hợp, họ phân biệt hai loại transfinite number cơ bản. Ở cả lĩnh vực vật lý và bản thể học (ontology), sự khác nhau được tạo ra giữa asmkhyata và ananata, giữa vô hạn bị chặn ngặt và vô hạn bị chặn lỏng.

Lý thuyết số Hellenistic[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số là một đề tài ưa thích của các nhà toán học Hellenistic ở Alexandria, Ai Cập từ thế kỉ thứ 3 sau Công Nguyên. Họ đã nhận thức được khái niệm phương trình Diophantine trong rất nhiều trường hợp đặc biệt. Nhà toán học Hellenistic đầu tiên nghiên cứu những phương trình này là Diophantus.

Diophantus cũng đã tìm kiếm một phương pháp để tìm nghiệm nguyên của các phương trình vô định tuyến tính, những phương trình mà thiếu điều kiện đủ để có một tập duy nhất các nghiệm phân biệt. Phương trình {\displaystyle x+y=5}📷 là một phương trình như vậy. Diophantus đã khám phá ra nhiều phương trình vô định có thể biến đổi thành các dạng đã biết mặc dù thậm chí còn không biết được nghiệm cụ thể.

Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính {\displaystyle ay+bx=c}📷, được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bằng liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với phương trình tuyến tính vô định bằng phương pháp này.

Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell, như là {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được ghi lại bởi Bhaskara II vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các phương trình vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp chakravala của Bhaskara dùng để tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các phương trình vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. Narayana Pandit đã cải tiến phương pháp chakravala và tìm thêm được các nghiệm tổng quát hơn đối với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn khác.

Lý thuyết số của người Hồi giáo[sửa | sửa mã nguồn]

Từ thế kỉ 9, các nhà toán học Hồi giáo đã rất quan tâm đến lý thuyết số. Một trong những nhà toán học đầu tiên này là nhà toán học Ả Rập Thabit ibn Qurra, người đã khám phá ra một định lý cho phép tìm các cặp số bạn bè, tức là các số mà tổng các ước thực sự của số này bằng số kia. Vào thế kỉ 10, Al-Baghdadi đã nhìn vào một ít biến đổi trong định lý của Thabit ibn Qurra.

Vào thế kỉ 10, al-Haitham có thể là người đầu tiên phân loại các số hoàn hảo chẵn (là các số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó) thành các số có dạng {\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}📷trong đó {\displaystyle 2^{k}-1}📷 là số nguyên tố. Al-Haytham cũng là người đầu tiên phát biểu định lý Wilson (nói rằng p là số nguyên tố thì {\displaystyle 1+(p-1)!}📷 chia hết cho p). Hiện không rõ ông ta có biết cách chứng minh nó không. Định lý có tên là định lý Wilson vì căn cứ theo một lời chú thích của Edward Waring vào năm 1770 rằng John Wilson là người đầu tiên chú ý đến kết quả này. Không có bằng chứng nào chứng tỏ John Wilson đã biết cách chứng minh và gần như hiển nhiên là Waring cũng không. Lagrange đã đưa ra chứng minh đầu tiên vào 1771.

Các số bạn bè đóng vai trò quan trọng trong toán học của người Hồi giáo. Vào thế kỉ 13, nhà toán học Ba Tư Al-Farisi đã đưa ra một chứng minh mới cho định lý của Thabit ibn Qurra, giới thiệu một ý tưởng mới rất quan trọng liên quan đến phương pháp phân tích thừa số và tổ hợp. Ông cũng đưa ra cặp số bạn bè 17296, 18416 mà người ta vẫn cho là của Euler, nhưng chúng tao biết rằng những số này còn được biết đến sớm hơn cả al-Farisi, có thể bởi chính Thabit ibn Qurra. Vào thế kỉ 17, Muhammad Baqir Yazdi đưa ra cặp số bạn bè 9.363.584 và 9.437.056 rất nhiều năm trước khi Euler đưa ra.

Lý thuyết số châu Âu ban đầu[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số bắt đầu ở Châu Âu vào thế kỉ 16 và 17, với François Viète, Bachet de Meziriac, và đặc biệt là Fermat, mà phương pháp lùi vô hạn của ông là chứng minh tổng quát đầu tiên của phương trình Diophantine. Định lý lớn Fermat được nêu lên như là một bài toán vào năm 1637, và không có lời giải cho đến năm 1994. Fermat cũng nêu lên bài toán {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 vào năm 1657.

Vào thế kỉ 18, Euler và Lagrange đã có những cống hiến quan trọng cho lý thuyết số. Euler đã làm một vài công trình về lý thuyết giải tích số, và tình được một nghiệm tổng quát của phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷, mà Fermat nêu thành bài toán. Lagrange đã tìm được một nghiệm của phương trình Pell tổng quát hơn. Euler và Lagrange đã giải những phương trình Pell này bằng phương pháp liên phân số, mặc dù nó còn khó hơn phương pháp chakravala của Ấn Độ.

Mở đầu lý thuyết số hiện đại[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng đầu thế kỉ 19 các cuốn sách của Legendre (1798), và Gauss kết hợp thành những lý thuyết có hệ thống đầu tiên ở châu Âu. Cuốn Disquisitiones Arithmeticae (1801) có thể nói là đã mở đầu lý thuyết số hiện đại.

Sự hình thành lý thuyết đồng dư bắt đầu với cuốn Disquisitiones của Gauss. Ông giới thiệu ký hiệu

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {c}},}📷

và đã khám phá ra hầu hết trong lĩnh vực này. Chebyshev đã xuất bản vào năm 1847 một công trình bằng tiếng Nga về chủ đề này, và ở Pháp Serret đã phổ biến nó.

Bên cạnh những công trình tổng kết trước đó, Legendre đã phát biểu luật tương hỗ bậc hai. Định lý này, được khám phá ra bởi qui nạp và được diễn đạt bởi Euler, đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Legendre trong cuốn Théorie des Nombres của ông (1798) trong những trường hợp đặc biệt. Độc lập với Euler và Legendre, Gauss đã khám phá ra định luật này vào khoảng năm 1795, và là người đầu tiên đưa ra chứng minh tổng quát. Những người cũng có cống hiến quan trọng: Cauchy; Dirichlet với cuốn Vorlesungen über Zahlentheorie kinh điển; Jacobi, người đã đưa ra ký hiệu Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, và Kronecker. Lý thuyết này đã được mở rộng để bao gồm biquadratic reciprocity (Gauss, Jacobi những người đầu tiên chứng minh luật tương hỗ bậc ba, và Kummer).

Gauss cũng đã đưa ra biểu diễn các số thành các dạng bậc hai cơ số hai.

Lý thuyết số về số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Một chủ đề lớn và lặp đi lặp lại trong lý thuyết số đó là nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố. Carl Fiedrich Gauss đã dự đoán kết quả của định lý số nguyên tố khi còn là học sinh trung học.

Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước. Riemann giới thiệu giải tích phức thành lý thuyết về hàm zeta Riemann. Điều này đã dẫn đến mối quan hệ giữa các số không của hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố, thậm chí dẫn tới một chứng minh cho định lý số về số nguyên tố độc lập với Hadamard và de la Vallée Poussin vào năm 1896. Tuy nhiên, một chứng minh sơ cấp đã được đưa ra sau đó bởi Paul Erdős và Atle Selberg vào năm 1949. Ở đây sơ cấp nghĩa là không sử dụng kĩ thuật giải tích phức; tuy nhiên chứng minh vẫn rất đặc biệt và rất khó. Giả thuyết Riemann, đưa ra những thông tin chính xác hơn, vẫn còn là một câu hỏi mở.

Các thành tựu trong thế kỉ 19[sửa | sửa mã nguồn]

Cauchy, Pointsot (1845), Lebesgue (1859, 1868) và đặc biệt là Hermite đã có những cống hiến đối với lĩnh vực này. Trong lý thuyết về các ternary form Eisenstein đã trở thành người đi đầu, và với ông và H. J. S. Smith đó đúng là một bước tiến quan trọng trong lý thuyết về các dạng. Smith đã đưa ra một sự phân loại hoàn chỉnh về các ternary form bậc hai, và mở rộng những nghiên cứu của Gauss về các dạng bậc hai thực (real quadratic form) thành các dạng phức (complex form). Những nghiên cứu về biểu diễn các số thành tổng của 4, 5, 6, 6, 8 bình phương đã được phát triển bởi Eisenstein và lý thuyết này đã được hoàn chỉnh bởi Smith.

Dirichlet là người đầu tiên thuyết trình về lĩnh vực này ở một trường đại học ở Đức. Một trong những cống hiến của ông là sự mở rộng của Định lý lớn Fermat:

{\displaystyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n},(x,y,z\neq 0,n>2)}📷

mà Euler và Legendre đã chứng minh cho n = 3, 4 (và từ đó suy ra cho các bội của 3 và 4). Dirichlet đã chỉ ra rằng:{\displaystyle x^{5}+y^{5}\neq az^{5}}📷. Một số nhà toán học Pháp là Borel, Poincaré, những hồi ký của họ rất lớn và có giá trị; Tannery và Stieltjes. Một số người có những cống hiến hàng đầu ở Đức là Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, và Dedekind. Ở Austria cuốn Vorlesungen über allgemeine Arithmetik của Stolz (1885-86) và ở Anh cuốn Lý thuyết số của Mathew (Phần I, 1892) là các công trình tổng quát rất có giá trị. Genocchi, Sylvester, và J. W. L. Glaisher cũng đã có những cống hiến cho lý thuyết này.

Các thành tựu trong thế kỉ 20[sửa | sửa mã nguồn]

Những nhà toán học lớn trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm Paul Erdős, Gerd Faltings, G. H. Hardy, Edmund Landau, John Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan và André Weil.

Các cột mốc trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm việc chứng minh Định lý lớn Fermat bởi Andrew Wiles vào năm 1994 và chứng minh Giả thuyết Taniyama–Shimura vào năm 1999

Danh ngôn[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số là nữ hoàng của toán học. — Gauss

Chúa sinh ra các số nguyên, và phần việc còn lại là của con người. — Kronecker

Tôi biết các con số rất đẹp đẽ. Nếu chúng không đẹp, thì chẳng có thứ gì đẹp.— Erdős

Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó.

Lý thuyết số có thể chia thành một vài lĩnh vực dựa theo phương pháp giải và các dạng bài toán được xem xét. (Xem Danh sách các chủ đề của lý thuyết số).

Cụm từ "số học" cũng được sử dụng để nói đến lý thuyết số. Đây là cụm từ không còn được sử dụng rộng rãi nữa. Tuy nhiên, nó vẫn còn hiện diện trong tên của một số lĩnh vực toán học (hàm số học, số học đường cong elliptic, lý thuyết căn bản của số học). Việc sử dụng cụm từ số học ở đây không nên nhầm lẫn với số học sơ cấp.

Mục lục

1Các lĩnh vực

1.1Lý thuyết số sơ cấp

1.2Lý thuyết số giải tích

1.3Lý thuyết số đại số

1.4Lý thuyết số hình học

1.5Lý thuyết số tổ hợp

1.6Lý thuyết số máy tính

2Lịch sử

2.1Lý thuyết số thời kì Vedic

2.2Lý thuyết số của người Jaina

2.3Lý thuyết số Hellenistic

2.4Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển

2.5Lý thuyết số của người Hồi giáo

2.6Lý thuyết số châu Âu ban đầu

2.7Mở đầu lý thuyết số hiện đại

2.8Lý thuyết số về số nguyên tố

2.9Các thành tựu trong thế kỉ 19

2.10Các thành tựu trong thế kỉ 20

3Danh ngôn

4Tham khảo

5Liên kết ngoài

Các lĩnh vực[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết số sơ cấp, các số nguyên được nghiên cứu mà không cần các kĩ thuật từ các lĩnh vực khác của toán học. Nó nghiên cứu các vấn đề về chia hết, cách sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất, phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố, việc nghiên cứu các số hoàn thiện và đồng dư.

Rất nhiều vấn đề trong lý thuyết số có thể phát biểu dưới ngôn ngữ sơ cấp, nhưng chúng cần những nghiên cứu sâu sắc và những tiếp cận mới bên ngoài lĩnh vực lý thuyết số để giải quyết.

Một số ví dụ:

Giả thuyết Goldbach nói về việc biểu diễn các số chẵn thành tổng của hai số nguyên tố.

Giả thuyết Catalan (bây giờ là định lý Mihăilescu) nói về các lũy thừa nguyên liên tiếp.

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi nói rằng có vô hạn số nguyên tố sinh đôi

Giả thuyết Collazt nói về một dãy đệ quy đơn giản

Định lý lớn Fermat (nêu lên vào năm 1637, đến năm 1994 mới được chứng minh) nói rằng phương trình {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}📷 không có nghiệm nguyên khác không với n lớn hơn 2.

Lý thuyết về phương trình Diophantine thậm chí đã được chứng minh là không có phương pháp chung đề giải (Xem Bài toán thứ 10 của Hilbert)

Lý thuyết số giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết giải tích số sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên. Định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Bài toán Waring(biểu diễn một số nguyên cho trước thành tổng các bình phương, lập phương, v.v...), giả thuyết số nguyên tố sinh đôi và giả thuyết Goldbach cũng đang bị tấn công bởi các phương pháp giải tích. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là π hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết giải tích số. Trong khi những phát biểu về các số siêu việt dường như đã bị loại bỏ khỏi việc nghiên cứu về các số nguyên, chúng thực sự nghiên cứu giá trị của các đa thức với hệ số nguyên tại, ví dụ, e; chúng cũng liên quan mật thiết với lĩnh vực xấp xỉ Diophantine, lĩnh vực nghiên cứu một số thực cho trước có thể xấp xỉ bởi một số hữu tỉ tốt tới mức nào.

Lý thuyết số đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Trong Lý thuyết số đại số, khái niệm của một số được mở rộng thành các số đại số, tức là các nghiệm của các đa thức với hệ số nguyên. Những thứ này bao gồm những thành phần tương tự với các số nguyên, còn gọi là số nguyên đại số. Với khái niệm này, những tính chất quen thuộc của số nguyên (như phân tích nguyên tố duy nhất) không còn đúng. Lợi thế của những công cụ lý thuyết - Lý thuyết Galois, group cohomology, class field theory, biểu diễn nhóm và hàm L - là nó cho phép lấy lại phần nào trật tự của lớp số mới.

Rất nhiều vấn đề lý thuyết số có thể được giải quyết một cách tốt nhất bởi nghiên cứu chúng theo modulo p với mọi số nguyên tố p (xem các trường hữu hạn). Đây được gọi là địa phương hóa và nó dẫn đến việc xây dựng các số p-adic; lĩnh vực nghiên cứu này được gọi là giải tích địa phương và nó bắt nguồn từ lý thuyết số đại sô.

Lý thuyết số hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số hình học (cách gọi truyền thống là (hình học của các số) kết hợp tất cả các dạng hình học. Nó bắt đầu với định lý Minkowski về các điểm nguyên trong các tập lồi và những nghiên cứu về sphere packing.

Lý thuyết số tổ hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số tổ hợp giải quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp trong công thức hoặc cách chứng minh của nó. Paul Erdős là người khởi xướng chính của ngành lý thuyết số này. Những chủ đề thông thường bao gồm hệ bao, bài toán tổng-zero, rất nhiều restricted sumset và cấp số cộng trong một tập số nguyên. Các phương pháp đại số hoặc giải tích rất mạnh trong những lĩnh vực này.

Lý thuyết số máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số máy tính nghiên cứu các thuật toán liên quan đến lý thuyết số. Những thuật toán nhanh chóng để kiểm tra tính nguyên tố và phân tích thừa số nguyên tố có những ứng dụng quan trọng trong mã hóa.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số thời kì Vedic[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhà toán học Ấn Độ đã quan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine từ thời kì Vedic. Những ứng dụng sớm nhất vào hình học của phương trình Diophantine có thể tìm thấy trong kinh Sulba, được viết vào khoảng giữa thế kỉ thứ 8 và thế kỉ thứ 6 trước Công nguyên. Baudhayana (năm 800 TCN) tìm thấy hai tập nghiệm nguyên dương của một hệ các phương trình Diophantine, và cũng sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới bốn ẩn. Apastamba (năm 600) sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới năm ẩn.

Lý thuyết số của người Jaina[sửa | sửa mã nguồn]

Ở Ấn Độ, các nhà toán học Jaina đã phát triển lý thuyết số có hệ thống đầu tiên từ thế kỉ thứ 4 trước Công Nguyên tới thế kỉ thứ 2. Văn tự Surya Prajinapti (năm 400 TCN) phân lớp tất cả các số thành ba tập: đếm được, không đếm được và vô hạn. Mỗi tập này lại được phân thành ba cấp:

Đếm được: thấp nhất, trung bình, và cao nhất.

Không đếm được: gần như không đếm được, thật sự không đếm được, và không đếm được một cách không đếm được.

Vô hạn: gần như vô hạn, thật sự vô hạn, vô hạn một cách vô hạn

Những người Jain là những người đầu tiên không chấp nhận ý tưởng các vô hạn đều như nhau. Họ nhận ra năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hoặc hai hướng (một chiều), vô hạn theo diện tích (hai chiều), vô hạn mọi nơi (ba chiều), và vô hạn liên tục (vô số chiều).

Số đếm được cao nhất N của người Jain tương ứng với khái niệm hiện đại aleph-không {\displaystyle \aleph _{0}}📷 (cardinal number của tập vô hạn các số nguyên 1,2,...), the smallest cardinal transfinite number. Người Jain cũng định nghĩa toàn bộ hệ thống các cardinal number, trong đó {\displaystyle \aleph _{0}}📷 là nhỏ nhất.

Trong công trình của người Jain về lý thuyết tập hợp, họ phân biệt hai loại transfinite number cơ bản. Ở cả lĩnh vực vật lý và bản thể học (ontology), sự khác nhau được tạo ra giữa asmkhyata và ananata, giữa vô hạn bị chặn ngặt và vô hạn bị chặn lỏng.

Lý thuyết số Hellenistic[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số là một đề tài ưa thích của các nhà toán học Hellenistic ở Alexandria, Ai Cập từ thế kỉ thứ 3 sau Công Nguyên. Họ đã nhận thức được khái niệm phương trình Diophantine trong rất nhiều trường hợp đặc biệt. Nhà toán học Hellenistic đầu tiên nghiên cứu những phương trình này là Diophantus.

Diophantus cũng đã tìm kiếm một phương pháp để tìm nghiệm nguyên của các phương trình vô định tuyến tính, những phương trình mà thiếu điều kiện đủ để có một tập duy nhất các nghiệm phân biệt. Phương trình {\displaystyle x+y=5}📷 là một phương trình như vậy. Diophantus đã khám phá ra nhiều phương trình vô định có thể biến đổi thành các dạng đã biết mặc dù thậm chí còn không biết được nghiệm cụ thể.

Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính {\displaystyle ay+bx=c}📷, được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bằng liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với phương trình tuyến tính vô định bằng phương pháp này.

Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell, như là {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được ghi lại bởi Bhaskara II vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các phương trình vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp chakravala của Bhaskara dùng để tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các phương trình vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. Narayana Pandit đã cải tiến phương pháp chakravala và tìm thêm được các nghiệm tổng quát hơn đối với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn khác.

Lý thuyết số của người Hồi giáo[sửa | sửa mã nguồn]

Từ thế kỉ 9, các nhà toán học Hồi giáo đã rất quan tâm đến lý thuyết số. Một trong những nhà toán học đầu tiên này là nhà toán học Ả Rập Thabit ibn Qurra, người đã khám phá ra một định lý cho phép tìm các cặp số bạn bè, tức là các số mà tổng các ước thực sự của số này bằng số kia. Vào thế kỉ 10, Al-Baghdadi đã nhìn vào một ít biến đổi trong định lý của Thabit ibn Qurra.

Vào thế kỉ 10, al-Haitham có thể là người đầu tiên phân loại các số hoàn hảo chẵn (là các số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó) thành các số có dạng {\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}📷trong đó {\displaystyle 2^{k}-1}📷 là số nguyên tố. Al-Haytham cũng là người đầu tiên phát biểu định lý Wilson (nói rằng p là số nguyên tố thì {\displaystyle 1+(p-1)!}📷 chia hết cho p). Hiện không rõ ông ta có biết cách chứng minh nó không. Định lý có tên là định lý Wilson vì căn cứ theo một lời chú thích của Edward Waring vào năm 1770 rằng John Wilson là người đầu tiên chú ý đến kết quả này. Không có bằng chứng nào chứng tỏ John Wilson đã biết cách chứng minh và gần như hiển nhiên là Waring cũng không. Lagrange đã đưa ra chứng minh đầu tiên vào 1771.

Các số bạn bè đóng vai trò quan trọng trong toán học của người Hồi giáo. Vào thế kỉ 13, nhà toán học Ba Tư Al-Farisi đã đưa ra một chứng minh mới cho định lý của Thabit ibn Qurra, giới thiệu một ý tưởng mới rất quan trọng liên quan đến phương pháp phân tích thừa số và tổ hợp. Ông cũng đưa ra cặp số bạn bè 17296, 18416 mà người ta vẫn cho là của Euler, nhưng chúng tao biết rằng những số này còn được biết đến sớm hơn cả al-Farisi, có thể bởi chính Thabit ibn Qurra. Vào thế kỉ 17, Muhammad Baqir Yazdi đưa ra cặp số bạn bè 9.363.584 và 9.437.056 rất nhiều năm trước khi Euler đưa ra.

Lý thuyết số châu Âu ban đầu[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số bắt đầu ở Châu Âu vào thế kỉ 16 và 17, với François Viète, Bachet de Meziriac, và đặc biệt là Fermat, mà phương pháp lùi vô hạn của ông là chứng minh tổng quát đầu tiên của phương trình Diophantine. Định lý lớn Fermat được nêu lên như là một bài toán vào năm 1637, và không có lời giải cho đến năm 1994. Fermat cũng nêu lên bài toán {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 vào năm 1657.

Vào thế kỉ 18, Euler và Lagrange đã có những cống hiến quan trọng cho lý thuyết số. Euler đã làm một vài công trình về lý thuyết giải tích số, và tình được một nghiệm tổng quát của phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷, mà Fermat nêu thành bài toán. Lagrange đã tìm được một nghiệm của phương trình Pell tổng quát hơn. Euler và Lagrange đã giải những phương trình Pell này bằng phương pháp liên phân số, mặc dù nó còn khó hơn phương pháp chakravala của Ấn Độ.

Mở đầu lý thuyết số hiện đại[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng đầu thế kỉ 19 các cuốn sách của Legendre (1798), và Gauss kết hợp thành những lý thuyết có hệ thống đầu tiên ở châu Âu. Cuốn Disquisitiones Arithmeticae (1801) có thể nói là đã mở đầu lý thuyết số hiện đại.

Sự hình thành lý thuyết đồng dư bắt đầu với cuốn Disquisitiones của Gauss. Ông giới thiệu ký hiệu

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {c}},}📷

và đã khám phá ra hầu hết trong lĩnh vực này. Chebyshev đã xuất bản vào năm 1847 một công trình bằng tiếng Nga về chủ đề này, và ở Pháp Serret đã phổ biến nó.

Bên cạnh những công trình tổng kết trước đó, Legendre đã phát biểu luật tương hỗ bậc hai. Định lý này, được khám phá ra bởi qui nạp và được diễn đạt bởi Euler, đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Legendre trong cuốn Théorie des Nombres của ông (1798) trong những trường hợp đặc biệt. Độc lập với Euler và Legendre, Gauss đã khám phá ra định luật này vào khoảng năm 1795, và là người đầu tiên đưa ra chứng minh tổng quát. Những người cũng có cống hiến quan trọng: Cauchy; Dirichlet với cuốn Vorlesungen über Zahlentheorie kinh điển; Jacobi, người đã đưa ra ký hiệu Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, và Kronecker. Lý thuyết này đã được mở rộng để bao gồm biquadratic reciprocity (Gauss, Jacobi những người đầu tiên chứng minh luật tương hỗ bậc ba, và Kummer).

Gauss cũng đã đưa ra biểu diễn các số thành các dạng bậc hai cơ số hai.

Lý thuyết số về số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Một chủ đề lớn và lặp đi lặp lại trong lý thuyết số đó là nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố. Carl Fiedrich Gauss đã dự đoán kết quả của định lý số nguyên tố khi còn là học sinh trung học.

Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước. Riemann giới thiệu giải tích phức thành lý thuyết về hàm zeta Riemann. Điều này đã dẫn đến mối quan hệ giữa các số không của hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố, thậm chí dẫn tới một chứng minh cho định lý số về số nguyên tố độc lập với Hadamard và de la Vallée Poussin vào năm 1896. Tuy nhiên, một chứng minh sơ cấp đã được đưa ra sau đó bởi Paul Erdős và Atle Selberg vào năm 1949. Ở đây sơ cấp nghĩa là không sử dụng kĩ thuật giải tích phức; tuy nhiên chứng minh vẫn rất đặc biệt và rất khó. Giả thuyết Riemann, đưa ra những thông tin chính xác hơn, vẫn còn là một câu hỏi mở.

Các thành tựu trong thế kỉ 19[sửa | sửa mã nguồn]

Cauchy, Pointsot (1845), Lebesgue (1859, 1868) và đặc biệt là Hermite đã có những cống hiến đối với lĩnh vực này. Trong lý thuyết về các ternary form Eisenstein đã trở thành người đi đầu, và với ông và H. J. S. Smith đó đúng là một bước tiến quan trọng trong lý thuyết về các dạng. Smith đã đưa ra một sự phân loại hoàn chỉnh về các ternary form bậc hai, và mở rộng những nghiên cứu của Gauss về các dạng bậc hai thực (real quadratic form) thành các dạng phức (complex form). Những nghiên cứu về biểu diễn các số thành tổng của 4, 5, 6, 6, 8 bình phương đã được phát triển bởi Eisenstein và lý thuyết này đã được hoàn chỉnh bởi Smith.

Dirichlet là người đầu tiên thuyết trình về lĩnh vực này ở một trường đại học ở Đức. Một trong những cống hiến của ông là sự mở rộng của Định lý lớn Fermat:

{\displaystyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n},(x,y,z\neq 0,n>2)}📷

mà Euler và Legendre đã chứng minh cho n = 3, 4 (và từ đó suy ra cho các bội của 3 và 4). Dirichlet đã chỉ ra rằng:{\displaystyle x^{5}+y^{5}\neq az^{5}}📷. Một số nhà toán học Pháp là Borel, Poincaré, những hồi ký của họ rất lớn và có giá trị; Tannery và Stieltjes. Một số người có những cống hiến hàng đầu ở Đức là Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, và Dedekind. Ở Austria cuốn Vorlesungen über allgemeine Arithmetik của Stolz (1885-86) và ở Anh cuốn Lý thuyết số của Mathew (Phần I, 1892) là các công trình tổng quát rất có giá trị. Genocchi, Sylvester, và J. W. L. Glaisher cũng đã có những cống hiến cho lý thuyết này.

Các thành tựu trong thế kỉ 20[sửa | sửa mã nguồn]

Những nhà toán học lớn trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm Paul Erdős, Gerd Faltings, G. H. Hardy, Edmund Landau, John Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan và André Weil.

Các cột mốc trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm việc chứng minh Định lý lớn Fermat bởi Andrew Wiles vào năm 1994 và chứng minh Giả thuyết Taniyama–Shimura vào năm 1999

Danh ngôn[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số là nữ hoàng của toán học. — Gauss

Chúa sinh ra các số nguyên, và phần việc còn lại là của con người. — Kronecker

Tôi biết các con số rất đẹp đẽ. Nếu chúng không đẹp, thì chẳng có thứ gì đẹp.— Erdős

📷Tập hợp Mandelbrot, đặt tên theo người đã khám phá ra nó, là một ví dụ nổi tiếng về phân dạng📷Mandelbrot năm 2007📷Xây dựng một bông tuyết Koch cơ bản từ tam giác đều

Một phân dạng (còn được biết đến là fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy phân dạng có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra phân dạng bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy. Từ fractal được nói đến lần đầu vào năm 1975 bởi Benoît Mandelbrot, lấy từ tiếng Latin fractus nghĩa là "đứt gãy". Trước đó, các cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là "đường cong quỷ".

Phân dạng ban đầu được nghiên cứu như một vật thể toán học. Hình học phân dạng là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của phân dạng; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ngành này có ứng dụng trong khoa học, công nghệ, và nghệ thuật tạo từ máy tính. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các phân dạng.

Mục lục

1Định nghĩa

2Lịch sử

3Tập hợp Mandelbrot

4Ví dụ

4.1Phân dạng tạo từ hình toán học

4.2Vật thể tự nhiên có cấu trúc phân dạng

5Ứng dụng

5.1Khoa học máy tính

5.2Y học và sinh học

5.3Hóa học

5.4Vật lý

5.5Thiên văn học

5.6Kinh tế

6Chú thích

7Tham khảo

8Liên kết ngoài

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

📷

Việc định nghĩa các đặc tính của phân dạng, có vẻ dễ dàng với trực quan, lại cực kỳ khó với đòi hỏi chính xác và cô đọng của toán học.

Mandelbrot đã định nghĩa phân dạng là "một tập hợp mà trong đó số chiều Hausdorff (hay chiều Hausdorff-Besicovitch) lớn hơn chiều tô pô học". Số chiều Hausdorff là khái niệm sinh ra để đo kích thước của phân dạng, thường không phải là một số tự nhiên. Một hình vẽ phân dạng trên tờ giấy 2 chiều có thể bắt đầu có những tính chất của vật thể trong không gian 3 chiều, và có thể có chiều Hausdorff nằm giữa 2 và 3. Đối với một phân dạng hoàn toàn tự đồng dạng, chiều Hausdorff sẽ đúng bằng chiều Minkowski-Bouligand.

Xem thêm: Số chiều Hausdorff

Các vấn đề liên quan đến định nghĩa phân dạng gồm:

Không có ý nghĩa chính xác của "gấp khúc".

Không có định nghĩa duy nhất của "chiều".

Có nhiều cách mà một vật thể có thể tự đồng dạng.

Không phải tất cả mọi phân dạng đều tìm được bằng phép đệ quy.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu các hình tự đồng dạng tự thế kỷ 17, khi Gottfried Leibniz xem xét các đường gấp khúc và định nghĩa đường thằng là đường phân dạng chuẩn: "các đường thẳng là đường cong, bất kỳ phần nào của nó cũng tương tự với toàn bộ".

Năm 1872, nhà toán học người Đức Karl Weierstrass đưa ra mô hình về một hàm liên tục nhưng không đâu khả vi

📷Bông tuyết Koch

Năm 1904, nhà toán học Thụy Điển Helge von Koch trong một bài "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" đã nghiên cứu các tính chất của phân dạng tạo thành bắt đầu từ các đa giác đơn lồi phẳng, mà cụ thể là tam giác, có hình dạng na ná rìa của các bông tuyết và được gọi là bông tuyết Koch (Koch snowflake)

Tập hợp Mandelbrot[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Tập hợp Mandelbrot📷Hình ảnh đầu tiên của tập Mandelbrot (trên mặt phẳng phức) trong dãy phóng đại với môi trường được tô màu liên tục (các điểm màu đen thuộc về tập này).

Tập Mandelbrot là một tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức, với biên của nó có dạng fractal. Tập Mandelbrot là tập các giá trị của số phức c với quỹ đạo bắt đầu từ 0 dưới phép lặp của đa thức bậc hai hệ số phức zn+1 = zn2 + c vẫn bị chặn (đóng trong biên).[1] Có nghĩa là, một số phức c thuộc về tập Mandelbrot, khi bắt đầu với z0 = 0 và áp dụng phép lặp lại, thì giá trị tuyệt đối của zn không bao giờ vượt quá một số xác định (số này phụ thuộc vào c) cho dù n lớn như thế nào. Tập Mandelbrot được đặt tên theo nhà toán học Benoît Mandelbrot, người đầu tiên đã nghiên cứu và phát triển nó.

Ví dụ, lấy c = 1 thì khi áp dụng chuỗi lặp ta thu được dãy số 0, 1, 2, 5, 26,…, và dãy này tiến tới vô cùng. Hay dãy này không bị chặn, và do vậy 1 không phải là phần tử của tập Mandelbrot.

Ví dụ khác, lấy c = i (trong đó i được định nghĩa là i2 = −1) sẽ cho dãy 0, i, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i,..., và dãy này bị chặn nên ithuộc về tập Mandelbrot.

Khi tính toán và vẽ trên mặt phẳng phức, tập Mandelbrot có hình dạng ở biên giống như một fractal, nó có tính chất tự đồng dạng khi phóng đại tại bất kì vị trí nào trên biên của tập hợp.

Tập Mandelbrot đã trở thành phổ biến ở cả bên ngoài toán học, từ vẻ đẹp thẩm mỹ cho tới cấu trúc phức tạp được xuất phát từ định nghĩa đơn giản, và nó cũng là một trong những ví dụ nổi tiếng của đồ họa toán học. Nhiều nhà toán học, bao gồm Mandelbrot, đã phổ biến lĩnh vực toán học này ra công chúng. Đây là một trong những tập hợp phân dạng nổi tiếng nhất.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Phân dạng tạo từ hình toán học[sửa | sửa mã nguồn]

📷Một phân dạng Mandelbrot zn+1 = zn2 + c

📷Phân dạng trông giống bông hoa

📷Một phân dạng của tập hợp Julia

📷Một phân dạng Mandelbrot khác

Vật thể tự nhiên có cấu trúc phân dạng[sửa | sửa mã nguồn]

📷Kéo hai tấm nhựa trong suốt có dính keo ra khỏi nhau, ta có được một cấu trúc phân dạng.

📷Phóng điện cao thếtrong một khối nhựa trong suốt, ta thu được hình Lichtenberg có cấu trúc phân dạng.

📷Các vết nứt có cấu trúc phân dạng trên bề mặt đĩa DVD, sau khi đưa đĩa này vào lò vi sóng

📷Súp lơ xanh Romanescocó những cấu trúc phân dạng tự nhiên

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Hình học Phân dạng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống và mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong nhiều lĩnh vực như sinh học, y học, thiên văn, kinh tế, công nghệ thông tin...

Khoa học máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Hình học Phân dạng có thể giúp thiết kế các hình ảnh đẹp trên máy tính một cách đơn giản và trực quan. Đây là một trong những lĩnh vực được nhiều người quan tâm, nhất là đối với những người yêu mến nghệ thuật. Cơ sở hình học Fractal cũng đã được ứng dụng trong công nghệ nén ảnh một cách hiệu quả thông qua các hệ hàm lặp (IFS), đây là một trong những lĩnh vực được các chuyên gia về khoa học máy tính đặc biệt quan tâm.

Phương pháp nén phân dạng là một phương pháp nén dữ liệu có mất mát thông tin cho ảnh số dựa trên phân dạng. Phương pháp này thích hợp nhất cho các ảnh tự nhiên dựa vào tính chất các phần của một bức ảnh thường giống với các phần khác của chính bức ảnh đó. Thuật toán phân dạng chuyển các phần này thành dữ liệu toán học được gọi là "mã phân dạng" và mã này được dùng để tái tạo lại bức ảnh đã được mã hóa. Đại diện của ảnh phân dạng được mô tả một cách toán học như là hệ thống các hàm lặp (IFS).

Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ, luôn tồn tại một điểm bất động. Mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co, người ta chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy luôn tồn tại một điểm bất động. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên các kết quả thu được của mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Do đó nếu ta coi ảnh cần nén là "điểm bất động" của một họ các ánh xạ co thì mỗi ảnh ta chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này sẽ làm giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.

Y học và sinh học[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhà khoa học đã tìm ra các mối quan hệ giữa phân dạng với hình thù của tế bào, quá trình trao đổi chất của cơ thể người, AND, nhịp tim, … Trước đây, các nhà sinh học quan niệm lượng chất trao đổi phụ thuộc vào khối lượng cơ thể người, nghĩa là nó tỉ lệ bậc 3 khi xem xét con người là một đối tượng 3 chiều. Nhưng với góc nhìn từ hình học phân dạng, người ta cho rằng sẽ chính xác hơn nếu xem con người là một mặt phân dạng với số chiều xấp xỉ 2.5, như vậy tỉ lệ đó không nguyên nữa mà là một số hữu tỷ. Việc chẩn đoán bệnh áp dụng hình học phân dạng đã có những tiến bộ rõ rệt. Bằng cách quan sát hình dạng của các tế bào theo quan điểm phân dạng, người ta đã tìm ra các bệnh lý của con người, tuy nhiên những lĩnh vực này vẫn còn mới mẻ, cần phải được tiếp tục nghiên cứu.

Hóa học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình học Phân dạng được sử dụng trong việc khảo sát các hợp chất cao phân tử. Tính đa dạng về cấu trúc polymer thể hiện sự phong phú về các đặc tính của hợp chất cao phân tử chính là các phân dạng. Hình dạng vô định hình, đường bẻ gãy, chuỗi, sự tiếp xúc của bề mặt polyme với không khí… đều có liên quan đến các phân dạng. Sự chuyển động của các phân tử, nguyên tử trong hợp chất, dung dịch, các quá trình tương tác gần giữa các chất với nhau,… đều có thể xem như một hệ động lực hỗn độn (chaos).

Vật lý[sửa | sửa mã nguồn]

Trong vật lý, khi nghiên cứu các hệ cơ học có năng lượng tiêu hao (chẳng hạn như có lực ma sát) người ta cũng nhận thấy trạng thái của các hệ đó khó xác định trước được và hình ảnh hình học của chúng là các đối tượng phân dạng.

Thiên văn học[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhà khoa học đã tiến hành xem xét lại các quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời cung như trong các hệ thiên hà khác. Một số kết quả cho thấy không phải các hành tinh này quay theo một quỹ đạo Ellipse như trong hình học Euclide mà nó chuyển động theo các đường phân dạng. Quỹ đạo của nó được mô phỏng bằng những quỹ đạo trong các tập hút "lạ".

Kinh tế[sửa | sửa mã nguồn]

Mô tả sự biến động của giá cả trên thị trường chứng khoán bằng các đồ hình phân dạng sẽ cho phép chúng ta theo dõi sự biến động của giá cả. Trên cơ sở đó dự báo giá cả trên thị trường dựa theo các luật của hình học phân dạng.