Ta có:

\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)

\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+5n+6\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+3n+2n+6\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left[n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Vì tích 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 24

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) chia hết cho 24

a, Ta có : \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)\)

\(=\left(n+2\right).\left(4n^2+4n\right)\)

\(=4n.\left(n+2\right).\left(n+1\right)\)

\(=4n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮4\)

\(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\) là tích của ba số liên tiếp

\(\Rightarrow n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮2\) và \(3\)

mà \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮\left(2.3\right)\)

Vậy \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)⋮24\left(đpcm\right)\)

b,

+ Thực hiện phép tính :

Ta có : \(\dfrac{6n^2+n-1}{3n+2}=2n-1+\dfrac{1}{3n+2}\)

Để \(\left(6n+n-1\right)⋮\left(3n+2\right)\) thì \(\dfrac{1}{3n+2}\in Z\)

\(\Rightarrow3n+2\inƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrow3n+2\in\left\{\pm1\right\}\)

Ta có bảng sau :

Vậy n = -1

a) Gọi ƯCLN(4n+1;6n+1) = d

=>\(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}3\left(4n+1\right)⋮d\\2\left(6n+1\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+2⋮d\end{cases}}\)

<=> 12n + 3 - 12n -2 \(⋮\)d

<=> 3 - 2  \(⋮\)d  _{(trừ 12n)}

<=> d = 1

Vậy ƯCLN(4n+1;6n+1) = 1 hay với mọi số tự nhiên n thì 4n+1 và 6n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Gọi ƯCLN(5n+4;6n+5) = d

=>\(\hept{\begin{cases}5n+4⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}6\left(5n+4\right)⋮d\\5\left(6n+5\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}30n+24⋮d\\30n+25⋮d\end{cases}}\)

<=>30n + 25 - 30n + 24 \(⋮\)d

<=>25 - 24 \(⋮\)d _{(bỏ đi 30n)}

<=> d = 1

Vậy ƯCLN(5n+4;6n+5) = 1 hay 5n + 4 và 6n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

B1: Giải:

\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

= \(n^4+n^3+5n^3+5n^2+6n^2+6n\)

= \(n^3\left(n+1\right)+5n^2\left(n+1\right)+6n\left(n+1\right)\)

= \(\left(n+1\right)\left(n^3+5n^2+6n\right)\)

= \(\left(n+1\right)\left(n^3+2n^2+3n^2+6n\right)\)

= \(\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)\right]\)

= \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3n\right)\)

= \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Vì n là số tự nhiên nên n , n+1 , n+2 , n+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì chắc chắn có 2 số chẵn liên tiếp, một số sẽ chia hết cho 4, số còn lại tất nhiên chia hết cho 2, do đó tích 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 8. (1)

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 3, do đó tích của 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tích của 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3 và 8.

Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 ( = 8.3 )

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮24\)

Hay \(n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\left(n\in N\right)\)