Cho ba số thực không âm  \(a;b;c\) và thỏa mãn  \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Chứng minh rằng :

\(\sqrt{\left(a+b+1\right).\left(c+2\right)}+\sqrt{\left(b+c+1\right).\left(a+2\right)}+\sqrt{\left(c+a+1\right).\left(b+2\right)}\ge9\)
 

P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn rất nhiều ạ!

Cho a,b,c là các số thực không âm bất kì, chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)}\)

Cho a,b,c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b+ c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) 2.CMR: \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}\)CMR:\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^3}{8bc\left(4b+4c+a\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{8ca\left(4c+4a+b\right)}}\ge a+b+c\)

Cho các số thực không âm bất kì a,b,c. CMR:

\(abc+2+\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]\ge a+b+c\)

Cho các số thực không âm a,b,ca,b,c thoả mãn a+b+c=1a+b+c=1. Chứng minh rằng :

\(\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le\sqrt{3}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\text{| }a-b\text{| }\right)+\text{| }b-c\text{| }+\text{| }c-a\text{| }.\)
 

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c = 1011. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\) + \(\sqrt{2022b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2}}\)+\(\sqrt{2022c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}\) ≤ \(2022\sqrt{2}\)

cho a,b,c là các số thực ko âm , a+b+c=3

cmr \(\left(a-1\right)^3+\left(b-1\right)^3+\left(c-1\right)^3\ge\frac{3}{4}\)

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 

\(\dfrac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\dfrac{3}{2}\)