\(a+b+c = 1 ; 1/a + 1/b + 1/c = 1 \)

\(=> (a+b+c)(1/a +1/b+1/c) = 1\)

\(<=> a/b + b/a + a/c + c/a + b/c + c/b + 3 - 1 = 0\)

\(<=> (a^2+b^2)/ab + (a^2+c^2)/ac + (b^2+c^2)/bc + 2 =0\)

\(<=> (a^2 + b^2).c + (a^2+c^2).b + (b^2+c^2).a + 2abc = 0\)

\(<=> a^2c + b^2c + a^2b + c^2b + ab^2 + ac^2 + 2abc =0 \)

\(<=> a^2c + ac^2 + abc + a^2b+ ab^2 + abc + b^2c + bc^2 =0\)

\(<=> ac(a+b+c) + ab(a+b+c) + bc(b+c) =0 \)

\(<=> a(b+c)(a+b+c) + bc(b+c) =0 \)

\(<=> (b+c)(a^2 + ab + ac + bc ) = 0 \)

\(<=> (b+c)[a(a+b) + c(a+b)] =0\)

\(<=> (b+c)(a+b)(a+c) =0 \)

<=> 1 trong 3 số \(b+c;a+b ; a+c = 0\)

\(a+b=0 => a= -b => a + b + c = 1 <=> c = 1 ; a = b = 0\)

Thay vào S ta được : \(\Rightarrow S=0^{2019}+0^{2019}+1^{2019}=1\)

EM tham khảo phần đầu ở link: Câu hỏi của Đinh Nguyến Nhật Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Trong 3 số a,b, c có hai số đối nhau g/s 2 số đó là a và b kho đó a=-b 

=> \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=-\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)

và \(\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)

Do đó: \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}\)

Câu hỏi của hanhungquan - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath tương tự

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2019}\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{2019}\Leftrightarrow2019\left(ab+bc+ca\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+ca\left(a+c\right)+abc-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(ab+b^2+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Rightarrow a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)

Mà \(a+b+c=2019\)

\(\Rightarrow a=2019\)hoặc \(b=2019\)hoặc \(c=2019\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2019}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{2019}\)

\(\Leftrightarrow2019\left(ab+bc+ac\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow2019\left(ab+bc+ac\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc\right)+ac\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(a+b+c\right)\left(a+c\right)+ca\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+b^2+bc+ac\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)

Suy ra a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc a + c = 0

Mà a + b + c = 2019 nên phải có 1 trong ba số a,b,c bằng 2019 (đpcm)

Vào trang cá nhân của mình đi, có cái này hay lắm, nhớ kb vs mình nha

oh no bài thứ nhất là dạng chứng minh cs đúng ko ,

ko thể nào là dạng tìm a,b,c đc-.-

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2022}\)

hay \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc=abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

-Xét a + b = 0 => P = 2022^2021

Bạn xét tương tự với b + c = 0 và c + a = 0 dc P = 2022^2021 nhé

a+bab+a+bc(a+b+c)=0a+bab+a+bc(a+b+c)=0

(a+b)[ab+bc+ca+c2abc(a+b+c)]=0(a+b)[ab+bc+ca+c2abc(a+b+c)]=0

 ⇔ a=−b

 ⇔ b=−c

 ⇔ c=−a

Thay vào P từng cái rồi tính tiếp nhé