\(\left(2\cdot8^n+n^3-16n+1\right)⋮3\)

Ta có \(2\cdot8^n+n^3-16n+1=2^{3n+1}+n\left(n-2\right)\left(n+2\right)+1\)

Vì \(2^{3n+1}⋮̸3;1⋮̸3\) nên \(2^{3n+1}+1⋮3;n\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮3\)

Ta thấy \(n;n-2;n+2\) là 3 số cách đều 2 nên tích của chúng chia hết cho 3

Vậy cần tìm n sao cho \(2^{3n+1}+1⋮3\)

Ta có \(1:3R2\) nên \(2^{3n+1}:3R2\)

Mà \(n< 200\Leftrightarrow2^{3n+1}< 2^{601}:3R2\)

Ta thấy với \(2^1;2^3;2^5;...\) đều chia 3 dư 2

Quy luật: 2 mũ lẻ chia 3 dư 2

\(\Rightarrow3n+1\in\left\{1;3;5;...;601\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{0;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};...;\dfrac{200}{3}\right\}\)

Mà \(n\in N\)

Vậy \(n=0\)

Bạn tham khảo tại đây nhé!! 

olm.vn/hoi-dap/detail/195135296784.html

\(n^4-4n^3-4n^2+16n=n\left(n^3-4n^2-4n+16\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n-4\right)-4\left(n-4\right)\right]=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)=n\left(n-4\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)

Vì n là số tự nhiên chẵn \(\Rightarrow n=2k\)( \(k\inℕ\))

\(\Rightarrow2k\left(2k-4\right)\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)=16k\left(k-2\right)\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Vì \(k\), \(k-2\), \(k-1\), \(k+1\)là 4 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow\)Luôn tồn tại ít nhất 2 số chẵn liên tiếp \(\Rightarrow k\left(k-2\right)\left(k-1\right)\left(k+1\right)⋮8\)

Vì \(k\), \(k-1\), \(k+1\)là 3 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)⋮3\)

mà \(\left(3;8\right)=1\)\(\Rightarrow k\left(k-2\right)\left(k-1\right)\left(k+1\right)⋮24\)

\(\Rightarrow16k\left(k-2\right)\left(k-1\right)\left(k+1\right)⋮384\)

hay \(n^4-4n^3-4n^2+16n⋮384\)

Đặt \(n^2+16n+2011=k^2\left(k\in N\right)\)

\(< =>\left(n^2+16n+64\right)+1947=k^2\)

\(< =>\left(n+8\right)^2+1947=k^2< =>k^2-\left(n+8\right)^2=1947\)

\(< =>\left(k-n-8\right)\left(k+n+8\right)=1947\)

Có \(k-n-8< k+n+8\)

\(=>\left(k-n-8\right)\left(k+n+8\right)=1.1947=3.649=11.177\)

bn tự giải tiếp nhé,đến đây dễ rồi
 

_bạn còn thiếu 1 trường hợp là 59 .33 nhé # CTV Hoàng Phúc

uk , tks , bn tự bổ sung ,mk k có máy tính nên k chắc chắn

1)2n+5-2n-1

=>4 chia hết cho 2n-1

ước của 4 là 1 2 4

2n-1=1=>n=.....

tiếp với 2 và 4 nhé