Đặt \(p=n^2-2n\)

\(\Rightarrow p=n\left(n-2\right)\)

Để \(p\in P\)thì: 

\(\orbr{\begin{cases}n=1;n-2\in P\\n\in P;n-2=1\end{cases}}\)

Lại có: \(n>n-2\)

\(\Rightarrow n-2=1\)

\(\Rightarrow n=3\)( TM \(n\in Z\))

Thay \(n=3\) vào \(p\) ta được \(p=3\) ( TM \(p\in P\))

Vậy để \(p\in P\)thì \(n=3\)

P/S: bài mk làm còn nhiều sai sót mong bạn thông cảm nha

\(n^2-2n\)\(=n\left(n-2\right)\)

Để  \(n^2-2n\)là nguyên tố thì 

  \(\orbr{\begin{cases}n=1\\n-2=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}n=1\\n=3\end{cases}}\)

Vì  n  là nguyên tố nên    \(n=3\)

n^2-2n=n.n-2.n=n(n-2)

để n^2-2n là nguyên tố thì (n-2,n):(2,1);(1,2);(-1,-2);(-2,-1)

+)nếu n=1,n-2=2 =>n=3 hay 1

+)nếun=2,n-2=1 =>n=3 hay n=2

+)nếun=-1,n-2=-2=>n=0 hay n=-1

+)nếu=-2,n-2=-1=>n=1 hay n=-2

đặt \(p^{2m}+q^{2m}=a^2\)

Xét p,q cùng lẻ thì \(p^{2m}\)chia 4 dư 1 ; \(q^{2m}\)chia 4 dư 1

\(\Rightarrow p^{2m}+q^{2m}\)chia 4 dư 2

\(\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lí vì SCP chia 4 ko thể dư 2 hoặc 3 )

\(\Rightarrow\)ít nhất 1 trong 2 số p,q có 1 số bằng 2

giả sử p = 2

\(\Rightarrow4^m=a^2-q^{2n}=\left(a-q^n\right)\left(a+q^n\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-q^n=4^x\\a+q^n=4^y\end{cases}\Rightarrow2.q^n=4^y-4^x⋮4}\)

\(\Rightarrow q^n⋮2\)

\(\Rightarrow q⋮2\)

\(\Rightarrow q=2\)

Thay p = q = 2 vào, ta được :

\(4^m+4^n=a^2\)

giả sử \(m\ge n\)

Đặt \(m=n+z\)

Ta có : \(4^{n+z}+4^n=4^n\left(4^z+1\right)=a^2\)

vì \(4^n\)là số chính phương nên \(4^z+1\)là số chính phương

Dễ thấy \(4^z+1=\left(2^z\right)^2+1\)không là số chính phương nên suy ra phương trình vô nghiệm

Đáp số nè: m=2, n=1, p=2, q=3 và các hoán vị.

Nếu ai cần thì cứ nhắn tin vs mik nha.

Đặt \(p^{2m}+q^{2n}=a^2\)\(\left(a\in Z\right)\)(1)

Nếu p,q lẻ suy ra \(p^{2m}\equiv q^{2n}\equiv1\)(mod 4)

\(\Rightarrow a^2\equiv2\)(mod 4), vô lý.

Suy ra trong p,q có 1 số = 2

Không mất tính tổng quát, giả sử p=2

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2^{2m}+q^{2n}=a^2\)(2)

Nếu q khác 3 \(\Rightarrow\)q không chia hết cho 3\(\Rightarrow\)\(q^2\equiv1\)(mod 3)\(\Rightarrow\)\(q^{2n}\equiv1\)(mod 3)

Mà \(2^{2m}=4^m\equiv1^m\equiv1\)(mod 3)

Suy ra \(2^{2m}+q^{2n}\equiv2\)(mod 3)\(\Rightarrow\)vô lý.

Do đó q=3.

(2) trở thành \(2^{2m}+3^{2n}=a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(3^{2n}=\left(a-2^m\right)\left(a+2^m\right)\)

\(\Rightarrow\)\(a-2^m\)và \(a+2^m\)là lũy thừa của 3.

Mà 2 số trên không cùng chia hết cho 3 (vì hiệu của chúng không chia hết cho 3)

\(\Rightarrow\)Có 1 số không chia hết cho 3\(\Rightarrow\)Có 1 số bằng 1 mà \(a-2^m< a+2^m\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-2^m=1\\a+2^m=3^{2n}\end{cases}}\Rightarrow2\cdot2^m=3^{2n}-1\Rightarrow2^{m+1}=\left(3^n-1\right)\left(3^n+1\right)\)

\(\Rightarrow\)\(3^n-1\)và \(3^n+1\)đều là lũy thừa của 2.

Mà 2 số này không cùng chia hết cho 4 (do hiệu của chúng = 2 không chia hết cho 4).

\(\Rightarrow\)Có 1 số không chia hết cho 4.

Mà 2 số cùng tính chẵn lẻ\(\Rightarrow\)2 số cùng chẵn\(\Rightarrow\)Có 1 số = 2.

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3^n-1=2\\3^n+1=2m\end{cases}}\)(do \(3^n-1< 3^n+1\))\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=1\\m=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}p=2\\q=3\end{cases}.}}\)

P/S: Bài dài viết lại mỏi quá.

a: \(\left\{{}\begin{matrix}n+2⋮d\\n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy: với mọi số nguyên n thì n+2 và n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

DO P LÀ SỐ NGUYÊN TỐ :

(+) XÉT P=2 => P+2=2+2=4 VÀ P+10=2+10=12 (ĐỀU LÀ HỢP SỐ )( LOẠI)

(+) XÉT P=3 => P+2=3+2=5 VÀ P+10 = 3+10 13 ( ĐỀU LÀ SỐ NGUYÊN TỐ ) ( CHỌN)

(+) NẾU P>3 => P KHÔNG CHIA HẾT CHO 3 => P CÓ DẠNG : 3K+1 HOẶC 3K+2

(+) XÉT P=3K+1 => P+2= 3K+1+2 = 3K+3 CHIA HẾT CHO 3 VÀ P+2>3 => P+2 LÀ HỢP SỐ (LOẠI)

(+) XÉT P=3K+2 => P+10 = 3K+2+10 =3K+12 CHIA HẾT CHO 3 VÀ P+10> 3 => P+10 LÀ HỢP SỐ (LOẠI)

                                          VẬY P=3

a) Vì: m là số nguyên tố 

=> m>1

=> 7m>7 và chia hết cho 7 (do 7 chia hết cho 7)

=> Là hợp số 

=> Vô lí

Vậy ko có SNT m nào t/m.

b) Vì: n thuộc N hay n là SNT cx ok nhá

=> n-2<n^2+4

Vì SNT đc phân tích thành 1 và chính nó

=> n-2=1

=> n=3

c) Giải thích tương tự câu b

=> Tìm đc n=2

=> m=1.7=7

d) Phân tích thành nhân tử r lm giống như câu b,c thoy