Gỉa sử tồn tại số tự nhiên n để 2010ⁿ - 1 chia hết cho 1010ⁿ - 1

Vì 2010 chia hết cho 3 nên 2010ⁿ chia hết cho 3 => 2010ⁿ - 1 không chia hết cho 3  => 1010ⁿ - 1 không chia hết cho 3

Mà  1010 đồng dư với -1 ( mod 3) => 1010ⁿ  - 1 đồng dư với (-1)ⁿ - 1 (mod 3)  => (-1)ⁿ - 1 khác 0 => n lẻ 

+) Vì 1010ⁿ - 1 chia hết cho 1010 - 1 = 1009 nên 2010ⁿ - 1 chia hết cho 1009 Hay 2010ⁿ đồng dư với 1 ( mod 1009)

Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất mà 2010^k đồng dư với 1 ( mod 1009) => n chia hết cho k Mà n lẻ nên k lẻ

+) Ta lại có: 1009 là số nguyên tố và  nguyên tố cùng nhau với 2010. Theo ĐL Fermat nhỏ có: 2010¹⁰⁰⁸ đồng dư với 1 (mod 1009)

Vì k là số nguyên dương nhỏ nhất để 2010^k đồng dư với 1 ( mod 1009) nên k là ước của 1008

1008 = 2⁴.3². 7 Mà k lẻ nên k có thể bằng 3;7;9;21;27; 63

Thử các giá trị của k

Vì 2010 đồng dư với -8 (mod 1009) nên 2010³ đồng dư với -512 (mod 1009) => Loại k = 3

tương tự với k = 7; 9 => Loại

2010⁹ đồng dư với 8⁹ (mod 1009) ; 8⁹ đồng dư với 548 (mod 1009)

=> 2010²⁷ đồng dư với 548³ ( mod 1009); 548³ đồng dư với 710 ( mod 1009)

=> k = 27 Loại

Làm tương tự với k = 63 => Loại

Vậy không có giá trị nào của k thỏa mãn y/c => điều giả sử sai

=> Không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn y/ c

Xét bộ gồm 2016 số: \(2^1;2^2;...;2^{2016}\)

Do 2017 nguyên tố đồng thời \(2^k\) là lũy thừa của 1 số nguyên tố khác 2017 nên \(2^k\) ko chia hết 2017 với mọi k 

Do đó tất cả các số trong bộ số nói trên đều ko chia hết 2017

- Nếu các số trong dãy trên chia 2017 có số dư đôi một khác nhau \(\Rightarrow\) có 2016 số dư \(\Rightarrow\) có đúng 1 số chia 2017 dư 1, giả sử đó là \(2^n\) thì \(2^n-1⋮2017\)

- Nếu tồn tại 2 số trong 2016 số trên có cùng số dư khi chia 2017 là \(2^i\) và \(2^j\) với \(1\le i< j\le2016\Rightarrow1\le j-i< 2016\)

\(\Rightarrow2^j-2^i⋮2017\)

\(\Rightarrow2^i\left(2^{j-i}-1\right)⋮2017\)

\(\Rightarrow2^{j-i}-1⋮2017\) (do \(2^i\) ko chia hết 2017)

\(\Rightarrow n=j-i\) thỏa mãn yêu cầu

1.Áp dụng định lý Fermat nhỏ.

1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)

và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

=> \(a^5-a⋮5\)

Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5

Cách 2

\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Do a nguyên nên a có 5 dạng:\(5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4\)

Nếu \(a=5k\Rightarrow a^5-a=5k\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+1\Rightarrow a^5-a=a\cdot5k\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+2\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+20k+5\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+3\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+30k+10\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+4\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(5k+5\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Vậy \(a^5-a⋮5\)

n=10

ko