\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=9\Rightarrow xy+yz+zx\ge3\)

\(2\left(x^2+y^2\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

Tương tự và nhân vế với vế:

\(VT\ge\dfrac{27}{64}\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)

Mặt khác ta có:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.3\left(xy+yz+zx\right)^3\ge3^3=27\) (đpcm)

Đặt  \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)  

\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\)  (do  \(x+2y=3\)  )

nên  \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\)  , ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Do đó,  \(3A\ge2.2+5=9\)

Hay nói cách khác,  \(A\ge3\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy,  \(A_{min}=3\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .

dự đoán điểm rơi  x = y = 1 

                       Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)

                                \(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)

cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 ) 

                                                                  => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1 

a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)

Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)

AM-GM thôi (:))

\(\dfrac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\ge3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x\left(2y-x\right)}}\)

Ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{y^2}{x\left(2y-x\right)}\ge1\).Điều này đúng vì

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi x=y=1

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)

\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)

\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)

Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2