Tìm các số hữu tỉ x, y thoả mãn đẳng thức: \(x\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\right)+y\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2018}\right)=\sqrt{2019^3}+\sqrt{2018^3}\)
1.Giải hệ phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2018}-\sqrt{y-2019}=1\\\sqrt{y-2018}-\sqrt{x-2019}=1\end{matrix}\right.\)
2. Cho a,b là các số hữu tỉ thỏa mãn \(\left(a^2+b^2-2\right)\left(a+b\right)^2+\left(1-ab\right)^2=-4ab\)
CMR: \(\sqrt{1+ab}\) là một số hữu tỉ
Help me!!!!Please!!!!
Từ hệ phương trình \(\Rightarrow\left(\sqrt{x-2018}-\sqrt{x-2019}\right)+\left(\sqrt{y-2018}-\sqrt{y-2019}\right)=2\)
Ta có: \(\sqrt{x-2018}-\sqrt{x-2019}\le\sqrt{\left(x-2018\right)-\left(x-2019\right)}=1\) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 2019
Tương tự: \(\sqrt{y-2018}-\sqrt{y-2019}\le1\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = 2019
Nên: \(\left(\sqrt{x-2018}-\sqrt{x-2019}\right)+\left(\sqrt{y-2018}-\sqrt{y-2019}\right)\le2\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2019\\y=2019\end{matrix}\right.\)
Kết luận nghiệm pt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2019\\y=2019\end{matrix}\right.\)
cho x; y thỏa mãn điều kiện \(3\left(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9}\right)=xy\)
Tính giá trị biểu thức: \(S=\left(x-17\right)^{2018}+\left(y-19\right)^{2019}\)
Ta có:
\(VT=\sqrt{9x\left(xy-9x\right)}+\sqrt{9y\left(xy-9y\right)}\le\frac{9x+xy-9x}{2}+\frac{9y+xy-9y}{2}\)
\(=xy=VP\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=18\)
\(\Rightarrow S=\left(18-17\right)^{2018}+\left(18-19\right)^{2019}=1-1=0\)
Ta có:
VT=\sqrt{9x\left(xy-9x\right)}+\sqrt{9y\left(xy-9y\right)}\le\frac{9x+xy-9x}{2}+\frac{9y+xy-9y}{2}VT=9x(xy−9x)+9y(xy−9y)≤29x+xy−9x+29y+xy−9y
=xy=VP=xy=VP
Dấu = xảy ra khi x=y=18x=y=18
\Rightarrow S=\left(18-17\right)^{2018}+\left(18-19\right)^{2019}=1-1=0⇒S=(18−17)2018+(18−19)2019=1−1=0
cho x; y thỏa mãn điều kiện: \(3\left(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9}\right)=xy\)
tính giá trị biểu thức: \(S=\left(x-17\right)^{2018}+\left(y-19\right)^{2019}\)
rút gon biểu thức:
1, \(\left(\dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-1}-\dfrac{1}{a}\right)\)
2, \(\dfrac{1+2019\sqrt{2018}-2018\sqrt{2019}}{\sqrt{2018}+\sqrt{2019}+\sqrt{2018.2019}}\)
1)
DKCĐ: a>0,\(a\ne1\)
\(=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\dfrac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{a}-\dfrac{1}{a}\right)\)\(=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}-1}{a}\right)\)\(=\dfrac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\dfrac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}-1}{a}\\ =\dfrac{1+a+1-a+2\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a\right)}}{\left(1+a\right)-\left(1-a\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}-1}{a}\)\(=\dfrac{2\left(\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a\right)}+1\right)}{2a}\cdot\dfrac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}-1}{a}\\ =\dfrac{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a\right)}+1}{a}\cdot\dfrac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}-1}{a}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a\right)}+1\right)\left(\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a\right)}-1\right)}{a^2}\\ =\dfrac{\left(1+a\right)\left(1-a\right)-1}{a^2}\\ =\dfrac{1-a^2-1}{a^2}\\ =\dfrac{-a^2}{a^2}\\ =-1\)
giải phương trình:\(\left(1+\sqrt{x^2+2020x}+2019\right)\left(\sqrt{x+2019}-\sqrt{x+1}\right)=2018\)
\(\sqrt{x+2018}+\sqrt{y-2019}+\sqrt{z-2}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\sqrt{x+2018}+\sqrt{y-2019}+\sqrt{z-2}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2018}+2\sqrt{y-2019}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow (x+2018-2\sqrt{x+2018}+1)+(y-2019-2\sqrt{y-2019}+1)+(z-2-2\sqrt{z-2}+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2018}-1)^2+(\sqrt{y-2019}-1)^2+(\sqrt{z-2}-1)^2=0\)
Vì \((\sqrt{x+2018}-1)^2\geq 0; (\sqrt{y-2019}-1)^2\geq 0; (\sqrt{z-2}-1)^2\geq 0\). Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((\sqrt{x+2018}-1)^2=(\sqrt{y-2019}-1)^2=(\sqrt{z-2}-1)^2= 0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2017\\ y=2020\\ z=3\end{matrix}\right.\)
câu 1 : tính giá trị bt : \(P=\left(1-\dfrac{1}{1+2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{1+2+3}\right)...\left(1-\dfrac{1}{1+2+...+2018}\right)\)
b) cho 2 số thực a, b lần lượt thoả mãn các hệ thức \(a^3-3a^2+5b+11=0\) chứng minh a+b=2
câu 2 : cho bt :
\(Q=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\cdot\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-1}-\dfrac{1}{a}\right)\cdot\sqrt{a^2-2a+1}\)
với 0<a<1
a) rút gọn Q
b) so sánh Q và \(Q^3\)
câu 3 : cho các số thực x,y thoả mãn \(\left(x+\sqrt{2018+x^2}\right)\cdot\left(y+\sqrt{2018+y^2}\right)=2018\)
tính gtbt \(Q=x^{2019}+y^{2019}+2018\cdot\left(x+y\right)+2020\)
bài 2: ta có : \(Q=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-\left(1-a\right)}\right)\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-1}-\dfrac{1}{a}\right).\sqrt{a^2-2a+1}\)
\(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}\sqrt{1-a}+1-a}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right)\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}-\dfrac{1}{a}\right)\left(1-a\right)\) \(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}\right)\left(1-a\right)\) \(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}+1}{a}\right)\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}\right)\left(1-a\right)\) \(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{1-a^2-1}{a^2}\right)\left(1-a\right)=a-1\)b) ta có : \(Q^3-Q=\left(a-1\right)\left(\left(a-1\right)^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a-2\right)\)
mà ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a-1< 0\\a-2< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a-2\right)>0\) \(\Rightarrow Q^3-Q>0\Leftrightarrow Q^3>Q\)
vậy \(Q^3>Q\)
Nguyễn Huy TúAkai HarumaLightning FarronNguyễn Thanh Hằngsoyeon_Tiểubàng giảiMashiro ShiinaVõ Đông Anh Tuấn
Hoàng Lê Bảo NgọcTrần Việt Linh
cứu tôi với
Cho hai số \(x\), \(y\) thoả mãn \(3\left(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9}\right)=xy\)
Tính giá trị biểu thức: \(S=\left(x-17\right)^{2018}+\left(y-19\right)^{2019}\)
Lời giải:
ĐK: $x,y\geq 9$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM ta có:
\(\text{VT}^2=9(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9})^2\leq 9(x+y)[x(y-9)+y(x-9)]\)
\(=(9x+9y)(2xy-9x-9y)\leq \left(\frac{9x+9y+2xy-9x-9y}{2}\right)^2=(xy)^2\)
Hay $\text{VT}^2\leq \text{VP}^2$
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{y-9}=\sqrt{x-9}\\ 9x+9y=2xy-9x-9y\end{matrix}\right.\) hay $x=y=18$
Khi đó:
\(S=(x-17)^{2018}+(y-19)^{2019}=1^{2018}+(-1)^{2019}=0\)