Question

Cho hai số \(x\), \(y\) thoả mãn \(3\left(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9}\right)=xy\)

Tính giá trị biểu thức: \(S=\left(x-17\right)^{2018}+\left(y-19\right)^{2019}\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK: $x,y\geq 9$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM ta có:

\(\text{VT}^2=9(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9})^2\leq 9(x+y)[x(y-9)+y(x-9)]\)

\(=(9x+9y)(2xy-9x-9y)\leq \left(\frac{9x+9y+2xy-9x-9y}{2}\right)^2=(xy)^2\)

Hay $\text{VT}^2\leq \text{VP}^2$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{y-9}=\sqrt{x-9}\\ 9x+9y=2xy-9x-9y\end{matrix}\right.\) hay $x=y=18$

Khi đó:

\(S=(x-17)^{2018}+(y-19)^{2019}=1^{2018}+(-1)^{2019}=0\)