Vì x,y nguyên mà |x| + |y| = 2

<= > x , y \(\le\) 2

TH1: |x| = 0 ; |y| = 2 => có 2 trường hợp

TH2: |x| = 1 ; |y| = 1 => có 4 trường hợp

TH3: |x| = 2 ; |y| = 0  => Có 2 trường hợp

Vậy có tất cả: 2 + 4 + 2=  8 trường hợp 

TH1 : x = 1 và y = 2

TH2 : x = -1 và y = -1

TH3 : x = -2 hoặc 2 và y = 0

TH4 : x= 0 và y = -2 hoặc 2

**** đúng nha

|x|,|y| có thể lần lượt là 0;2, 1;1 hoặc 2;0

Vậy có 3 cặp (x,y) thỏa mãn

Các cặp số(x,y) thỏa mãn là:0,2;1,1;-1,-1;-2,0 hết

TH1 : x=1 và y=2    

TH2 : x= -1 và y= -1

TH3 :x=-2 hoặc 2 và y=0

TH4 : x=0 và y = -2 hoặc 2

1;1    1;-1     -1;1   -1;-1 ban thieu

\(P=\frac{x-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{3}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}\)

P nguyên <=>3 chia hết cho x+1 <=>x+1 là Ư(3)

Mà Ư(3)={+-1;+-3}

Ta có bảng sau:

Vậy x={-4;-2;0;2} thì P nguyên

p​ nguyên <=> x-2=x+1-3 chia hết cho x+1 => 3 chia hết cho x+1 => x+1 thuộc Ư(3) =>x+1 thuộc {-3;-1;1;3} <=> x thuộc {-4;-2;0;2}

Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1). 
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

 Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

Xét x= 1 => \(\dfrac{2}{y-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(y=2\vee y=3\)

Xét y=1 => \(\dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(x=2\vee x=3\)

Xét \(x\ge 2\) hoặc \(y\ge 2\) . Ta có : \((x,xy-1)=1\). Do đó :

\(xy-1|x^3+x\Rightarrow xy-1|x^2+1\Rightarrow xy-1|x+y\)

=> \(x+y\ge xy-1\Rightarrow (x-1)(y-1)\le 2\). Từ đó có \((x-1)(y-1)=1\ \vee (x-1)(y-1)=2\) 

=> x = y = 2 ( loại ) hoặc x = 2 ; y = 3 hoặc x = 3 ; y= 2

Vậy các cặp số ( x;y ) thỏa mãn là (1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(2;3),(3;2)

Các cặp số nguyên x;y thỏa mãn là:

=> có 11 cặp, k chắc nữa

\(x+xy+y=1\)

\(2x+2xy+2y=2\)

\(2x\left(1+y\right)+2y=2\)

\(2x\left(y+1\right)+2y+2=4\)

\(2x\left(y+1\right)+2\left(y+1\right)=4\)

\(\left(2x+2\right)\left(y+1\right)=4\)

\(2\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\)

\(TH1:\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(TH2:\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(TH3:\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=-2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(TH4:\left\{{}\begin{matrix}x+1=-2\\y+1=-1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-2\end{matrix}\right.\)

\(Vậy...\)

x+xy+y=1⇔x(y+1)+y+1=2⇔(x+1)(y+1)=2

⇒(x+1;y+1)=(-1;-2),(-2;-1),(1;2),(2;1)

sau tự tính nhé :3

- Với \(x=1\) ko thỏa mãn

- Với \(x=2\Rightarrow\dfrac{2}{2y+2}\in Z\Rightarrow\dfrac{1}{y+1}\in Z\Rightarrow y=\left\{-2;0\right\}\) ko thỏa mãn

- Với \(x\ge3\)

\(x^2-2⋮xy+2\Rightarrow x\left(xy+2\right)-y\left(x^2-2\right)⋮xy+2\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)⋮xy+2\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\le2\)

\(\Rightarrow y-2\le\dfrac{2}{x-2}\le\dfrac{2}{3-2}=2\Rightarrow y\le4\)

\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4\right\}\)

Lần lượt thay 3 giá trị của y vào pt biểu thức ban đầu

Ví dụ: \(y=1\Rightarrow\dfrac{x^2-2}{x+2}\in Z\Rightarrow x-2+\dfrac{2}{x+2}\in Z\)

\(\Rightarrow x+2=Ư\left(2\right)\Rightarrow\) ko tồn tại x nguyên dương t/m

Tương tự...