1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: \(x^3-3xy=6y-1\)
2: Tìm các số nguyên tố x, y sao cho \(x^2+3xy+y^2\)là số chính phương
Tìm x,y là các số nguyên tố sao cho \(x^2+3xy+y^2\)là số chính phương
+, Nếu x,y đều khác 3
=> x và y đều ko chia hết cho 3
=> x^2 và y^2 đều chia 3 dư 1
=> x^2+y^2 chia 3 dư 2
Mà 3xy chia hết cho 3
=> x^2+3xy+y^2 chia 3 dư 2
=> x^2+3xy+y^2 ko phải số chính phương
=> trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3
Gia sử x chia hết cho 3
=> x=3
=> A = x^2+3xy+y^2 = 9+9y+y^2 = y^2+9y+9
Đặt A = k^2 ( k thuộc N )
<=> y^2+9y+9 = k^2
<=> 4y^2+36y+36 = (2k)2
<=> (2y+9)^2 - 45 = (2k)^2
<=> (2y+9)-(2k)^2 = 45
<=> (2y-2k+9).(2y+2k+9) = 45
Đến đó bạn tự làm nha nhưng nhớ kết quả gồm những hoán vị mà bạn tìm đc vì lúc đầu đã giả sử x chia hết cho 3
Tk mk nha
1, Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 2x ^ 2 + y ^ 2 + 3xy - 3x - 3y + 11 = 0
a) Giải phương trình nghiệm nguyên \(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)
b) tìm các số nguyên dương x;y sao cho \(\frac{x^3+x}{3xy-1}\)là một số nguyên
a) \(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)
\(\Leftrightarrow2xy^2+x+y-x^2-2y^2-xy=-1\)
\(\Leftrightarrow2xy^2-2y^2+x-x^2+y-xy=-1\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2y^2-x-y\right)=-1\)
Để x nguyên thì x - 1 nguyên. Vậy thì \(x-1\in\left\{-1;1\right\}\)
Với x = 1, ta có \(2y^2-1-y=-1\Rightarrow2y^2-y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)
Với x = -1, ta có \(2y^2+1-y=1\Rightarrow2y^2+y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{-1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)
Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) hoặc (-1; 0).
Cho p là số nguyên tố sao cho phương trình x^3 + y^3 - 3xy = p - 1 có nghiệm nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của p
Theo đề: \(p=x^3+y^3-3xy+1=\left(x+y\right)^3+1-3xy\left(x+y\right)-3xy\)
\(=\left(x+y+1\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1\right]-3xy\left(x+y+1\right)\)
\(=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)
Vậy \(\left(x+y+1\right)\)và \(\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)là các ước của p, mà p là số nguyên tố nên 1 trong 2 ước trên phải bằng 1 và ước còn lại bằng chính p
+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=1\Leftrightarrow x=-y\\x^2+y^2-x-y-xy+1=p\end{cases}}\)---> Loại, vì x,y nguyên dương nên x không thể bằng -y.
+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=p\Leftrightarrow x+y=p-1\\x^2+y^2-x-y-xy+1=1\end{cases}}\)---> Xét vế dưới:
\(x^2+y^2-x-y-xy=0\)---> Áp dụng 1 số BĐT đơn giản:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)và \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow-xy\ge-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Suy ra: \(x^2+y^2-x-y-xy\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\left(x+y\right)-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow0\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\Leftrightarrow0\le x+y\le4\Rightarrow0\le p-1\le4\Leftrightarrow1\le p\le5\)
Vậy số nguyên tố p lớn nhất thỏa mãn đề bài là p = 5
Khi đó x = y = 2.
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:
\(xy^2+3x-3xy+2=x^3+3y^2-9y\)
Tìm tất cả các số nguyên tố x và y sao cho: x bình phương - 6y bình phương =1
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+y=2\\x+2y=2\end{matrix}\right.\) ( m là tham số và x,y là các ẩn số)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các số nguyên
Giải
Từ phương trình thứ hai ta có: x= 2 - 2y thế vào phương trình thứ nhất được:
(m-1)(2-2y) + y =2
<=> ( 2m - 3)y= 2m-4 (3)
Hệ có nghiệm x,y là các số nguyên <=> (3) có nghiệm y nguyên.
Với m thuộc Φ => 2m-3 khác 0 => (3) có nghiệm y=\(\dfrac{2m-4}{2m-3}\)
y thuộc Φ <=> \(\left[{}\begin{matrix}2m-3=1\\2m-3=-1\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=1\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn:1,2.
tìm tất cả các số nguyên dương x;y thỏa mãn phương trình: (x+5)(y+6)=3xy
1) Cho hai số nguyên dương x,y lớn hơn 1, x khác y thỏa mãn \(x^2+y-1⋮y^2+x-1.\). Chứng minh rằng \(y^2+x-1\)không thể là lũy thừa của 1 số nguyên tố.
2) Tồn tại không các số nguyên dương x, y sao cho \(x^5+4^y\)là lũy thừa của 11.
3)Tìm tất cả các cặp số (x,y) nguyên dương thỏa mãn \(x^3-y^3=13\left(x^2+y^2\right)\)
4)Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn \(n^5+n+1\)là lũy thừa của số nguyên tố.
5)Cho 2 số nguyên dương x,y thỏa mãn \(2x^2+11xy+12y^2\)là lũy thừa của số nguyên tố. Chứng minh rằng x=y.
6)Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho \(\frac{p+1}{2}\)và\(\frac{p^2+1}{2}\)đều là số chính phương.
7)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương p, q với p nguyên tố thỏa mãn \(p^3+p^2+6=q^2+q\)