Ta có \(\left(a^{201}+b^{201}\right)^2=\left(a^{200}+b^{200}\right)\left(a^{202}+b^{202}\right)\Leftrightarrow2a^{201}b^{201}=a^{200}b^{202}+a^{202}b^{200}\Leftrightarrow2ab=a^2+b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\).

Khi đó \(a^{200}=a^{201}\Leftrightarrow a=1\).

Do đó P = 2.

ta có: a²⁰⁰ + b²⁰⁰ = a²⁰¹ + b²⁰¹ = a²⁰² + b²⁰²

-----> a²⁰⁰ + b²⁰⁰ + a²⁰² + b²⁰² = 2.a²⁰¹ + 2.b²⁰¹

-----> a²⁰⁰ - 2.a²⁰¹ + a²⁰² + b²⁰⁰ - 2.b²⁰¹ + b²⁰² = 0

----> a²⁰⁰.(1-a)² + b²⁰⁰. (1-b)² = 0

mà \(a^{200}.\left(1-a\right)^2\ge0;b^{200}.\left(1-b\right)^2\ge0.\)

a và b là các số thực không âm

----> (1-a)² = 0 ----> a = 1

(1-b)² = 0 ----> b= 1

----> B =a²⁰¹⁹ + b²⁰²⁰ = 1+1 = 2

GIẢI

\(a^{200}+b^{200}=a^{201}+b^{201}\)

\(\Rightarrow a^{200}\left(a-1\right)+b^{200}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)

\(a^{201}+b^{201}=a^{202}+b^{202}\)

\(\Rightarrow a^{201}\left(a-1\right)+b^{201}\left(b-1\right)=0\left(2\right)\)

Ta lấy ( 2 ) - ( 1 ) suy ra :
\(\left(a-1\right)\left(a^{201}-a^{200}\right)+\left(b-1\right)\left(b^{201}-b^{200}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{200}\left(a-1\right)^2+b^{200}\left(b-1\right)^2=0\)

Ta thấy : \(a^{200}\left(a-1\right)^2\ge0;b^{200}\left(b-1\right)^2\ge0\) với mọi a , b 

Do đó để tổng của chúng bằng 0 thì :

\(a^{200}\left(a-1\right)^2=b^{200}\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=0\) hoặc \(a=1\) ; \(b=0\) hoặc \(b=1\)

Suy ra \(\left(a,b\right)=\left(1,1\right);\left(0,0\right);\left(1,0\right);\left(0,1\right)\)

\(\Rightarrow B=a^{2019}+b^{2020}\) có thể nhận những giá trị \(0;2;1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Nếu là so sánh thì B>A vì mỗi phân số của B đều lớn hơn 1 và B nhiều số hạng hơn còn A thì kém về 2 mặt.

Chúc em học tốt^^

Lời giải:
\(a^{200}+b^{200}=a^{201}+b^{201}\)

\(\Rightarrow a^{200}(a-1)+b^{200}(b-1)=0(1)\)

\(a^{201}+b^{201}=a^{202}+b^{202}\)

\(\Rightarrow a^{201}(a-1)+b^{201}(b-1)=0(2)\)

Lấy $(2)-(1)$ suy ra:

\((a-1)(a^{201}-a^{200})+(b-1)(b^{201}-b^{200})=0\)

\(\Leftrightarrow a^{200}(a-1)^2+b^{200}(b-1)^2=0\)

Ta thấy $a^{200}(a-1)^2\geq 0; b^{200}(b-1)^2\geq 0$ với mọi $a,b$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\(a^{200}(a-1)^2=b^{200}(b-1)^2=0\)

$\Rightarrow a=0$ hoặc $a=1$; $b=0$ hoặc $b=1$

Suy ra $(a,b)=(1,1); (0,0); (1,0); (0,1)$

$\Rightarrow B=a^{2019}+b^{2020}$ có thể nhận những giá trị là $0; 2; 1$

Trong A có thừa số 2 và 101 => A chia hết cho 202 => A.B chia hết cho 202

\(\frac{199}{200}>\frac{199}{200+201+202}\)

\(\frac{200}{201}>\frac{200}{200+201+202}\)

\(\frac{201}{202}>\frac{201}{200+201+202}\)

=>\(A>B\)

Do \(\frac{199}{200}\)> \(\frac{199}{200+201+202}\), \(\frac{200}{201}\)>\(\frac{200}{200+201+202}\),\(\frac{201}{202}\)>\(\frac{201}{200+201+202}\)nên A>B

a)

Vì \(\frac{2009}{2010}< 1\Rightarrow\frac{2009}{2010}< \frac{2009+1}{2010+1}=\frac{2010}{2011}\)

Cần nhớ:

Nếu: \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\left(n\inℕ^∗\right)\)

Và tương tự:  \(\frac{a}{b}>1\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\left(n\inℕ^∗\right)\)

b)Ta có:

 \(\frac{1}{3^{400}}=\frac{1}{\left(3^4\right)^{100}}=\frac{1}{81^{100}}\)

\(\frac{1}{4^{300}}=\frac{1}{\left(4^3\right)^{100}}=\frac{1}{64^{100}}\)

Vì: \(81^{100}>64^{100}\Leftrightarrow\frac{1}{81^{100}}< \frac{1}{64^{100}}\Leftrightarrow\frac{1}{3^{400}}< \frac{1}{4^{300}}\)

c) Ta có:

\(\frac{200+201}{201+202}=\frac{401}{403}< 1\)

\(\frac{200}{201}+\frac{201}{202}=1-\frac{1}{201}+1-\frac{1}{202}=2-\left(\frac{1}{201}+\frac{1}{202}\right)>1\)

=>\(\frac{200}{201}+\frac{201}{202}>\frac{200+201}{201+202}\)