Vì \(AK⊥FH;FK=KH\) nên \(AK\)là đường trung trực của \(FH\)

\(\Rightarrow AF=AH\left(TC\right)\)(1)

Vì \(AI⊥HE;IH=IE\) nên \(AI\)là đường trung trực của \(HE\)

\(\Rightarrow AH=AE\)(2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow AF=AE\left(=AH\right)\) (đpcm)

Bạn Đunh Đức Hùng làm đúng đó

Xét ΔAIE vuông tại I và ΔAIH vuông tại I có

AH chung

IE=IH

Do đó: ΔAIE=ΔAIH

Xét ΔAHF có

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHF cân tại A

=>AH=AF

Ta có: ΔAEI=ΔAHI

=>AE=AH và \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

Ta có: AE=AH

AH=AF

Do đó: AE=AF

Ta có: \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

mà AI nằm giữa AE,AH

nên AI là phân giác của góc EAH

=>\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{IAH}\)

Ta có; ΔAHF cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc HAF

=>\(\widehat{HAF}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{FAH}\)

\(=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(=2\cdot\widehat{BAC}=2\cdot45^0=90^0\)

a) Xét ΔAEI vuông tại I và ΔAHI vuông tại I có

AI chung

IE=IH(gt)

Do đó: ΔAEI=ΔAHI(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AE=AH(hai cạnh tương ứng)(1)

Xét ΔAHK vuông tại K và ΔAFK vuông tại K có

AK chung

KH=KF(gt)

Do đó: ΔAHK=ΔAFK(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AH=AF(hai cạnh tương ứng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE=AF(đpcm)

b) Ta có: ΔAEI=ΔAHI(cmt)

nên \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{EAB}=\widehat{BAH}\)

Ta có: ΔAHK=ΔAFK(cmt)

nên \(\widehat{HAK}=\widehat{FAK}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{HAC}=\widehat{FAC}\)

Ta có: \(\widehat{EAB}+\widehat{HAB}+\widehat{HAC}+\widehat{FAC}=\widehat{EAF}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAF}=2\cdot\widehat{HAB}+2\cdot\widehat{HAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAF}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAF}=2\cdot\widehat{BAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAF}=2\cdot60^0=120^0\)

Xét ΔAEF có AE=AF(cmt)

nên ΔAEF cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

\(\Leftrightarrow\widehat{AEF}=\widehat{AFE\:}=\dfrac{180^0-\widehat{EAF}}{2}\)(Số đo của các góc ở đáy trong ΔAEF cân tại A)

\(\Leftrightarrow\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\dfrac{180^0-120^0}{2}\)

hay \(\widehat{AEF}=30^0\); \(\widehat{AFE}=30^0\)

Vậy: \(\widehat{EAF}=120^0\); \(\widehat{AEF}=30^0\); \(\widehat{AFE}=30^0\)

a: Xét ΔAHE có 

AI là đường cao

AI là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHE cân tại A

Suy ra: AE=AH(1)

Xét ΔAHF có 

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHF cân tại A

Suy ra: AF=AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra AF=AE

a, Vì AI là đg cao và trung tuyến tg AHE nên tg AHE cân tại A \(\Rightarrow AE=AH\)

Vì AK là đg cao và trung tuyến tg AHF nên tg AHF cân tại A \(\Rightarrow AF=AH\)

Vậy \(AE=AF\)

b, Vì AI, AK là đg cao của 2 tg cân nên chúng cũng là phân giác của 2 tg đó

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{HAF}=2\left(\widehat{KAH}+\widehat{IAH}\right)=2\cdot\widehat{BAC}=120^0\)

Vì \(AE=AF\) nên tg AEF cân tại A

Vậy \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\dfrac{180^0-\widehat{EAF}}{2}=30^0\)

a: Xét ΔAIE vuông tại I và ΔAIH vuông tại I có

AH chung

IE=IH

Do đó: ΔAIE=ΔAIH

b: Xét ΔAHF có

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHF cân tại A

=>AH=AF

Ta có: ΔAEI=ΔAHI

=>AE=AH và \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

Ta có: AE=AH

AH=AF

Do đó: AE=AF

c: Ta có: \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

mà AI nằm giữa AE,AH

nên AI là phân giác của góc EAH

=>\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{IAH}\)

Ta có; ΔAHF cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc HAF

=>\(\widehat{HAF}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{FAH}\)

\(=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(=2\cdot\widehat{BAC}=2\cdot45^0=90^0\)

Em vừa nghĩ ra 2 cách làm bằng kiến thức lớp 7, co check giùm em nhé!

Ta có: \(\widehat{CAD}=90^0-\widehat{DAB}\)

và \(\widehat{CDA}=90^0-\widehat{HAD}\)

Mà \(\widehat{DAB}=\widehat{HAD}\left(gt\right)\Rightarrow AC=DC\)

Tương tự ta có: AB = EB

\(\Rightarrow AB+AC=EB+DC\)

\(=ED+DB+DC=DE+BC\)

\(\Rightarrow DE=AB+AC-BC=3+4-5=2\left(cm\right)\)

Vậy DE = 2 cm

Ta có: \(\Delta\)ABC vuông tại A

=> BC\(^2\)=AB\(^2\)+ AC\(^2\)= 3\(^2\)+ 4\(^2\)=  25 => BC = 5 (cm)

Có: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{25}{144}\)

=> AH = 2,4  (cm)

Có: \(CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{4^2}{5}=3,2\)(cm)

=> BH = 5 - 3,2 = 1,8 ( cm )

AE là phân giác ^CAH => \(\frac{EC}{EH}=\frac{AC}{AH}=\frac{4}{2,4}\) mà EC + EH = CH = 3,2 

=> EC = 2 ( cm ) ; EH = 1,2 ( cm )

AD là phân giác ^BAH  => \(\frac{DH}{DB}=\frac{AH}{AB}=\frac{2,4}{3}\); mà DH + DB = HB = 1,8 

=> DH = 0,8 ( cm ) ; BD = 1( cm )

Vậy DE = DH + HE = 0,8 + 1,2 = 2 ( cm )