Lời giải:
$A=(1+2)+(2^2+2^3)+.....+(2^{10}+2^{11})$

$=(1+2)+2^2(1+2)+...+2^{10}(1+2)$
$=(1+2)(1+2^2+....+2^{10})$

$=3(1+2^2+....+2^{10})\vdots 3$ (đpcm)

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹¹

A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2¹¹

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3;...;11 dãy số này là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (11 - 10) : 1 + 1 = 12 (số hạng)

Vậy A có 12 hang tử nhóm hai hạng tử liên tiếp của A với nhau vì  

12 : 2 = 6 nên:

A = (1 + 2) + ( 2² + 2³) +...+ (2¹⁰ + 2¹¹)

A = 3 + 2².(1 + 2) + ...+ 2¹⁰.(1 + 2)

A = 3 + 2². 3 +...+ 2¹⁰.3

A = 3.( 1 + 2² +...+ 2¹⁰)

vì 3 ⋮ 3 nên 3.(1 + 2² + ...+ 2¹⁰) ⋮ 3 hay A = 1 + 2+ ...+ 2¹¹ ⋮ 3(đpcm)

1, 

a, Ta có: A = 2 + 2² + 2³ +.......+ 2¹⁰

= ( 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ ) +...... + ( 2⁹ + 2¹⁰ )

= 6 + 2³ . ( 2 + 2² ) +... + 2⁹ . ( 2 + 2² )

= 6 + 2³ . 6 + ......... + 2⁹ . 6

= 6 . ( 2 + 2² + 2³ +......+ 2⁹ ) chia hết cho 3 ( Vì 6 chia hết cho 3, nên 6k chia hết cho 3 )

=>   A chia hết  cho 3

b, Tương tự ta làm tiếp với ý b

Ta có : 2²⁰¹⁹ - 2 = 2.(2²⁰¹⁸ - 1) 

                           = 2.[(2 + 2² + 2³ + .... + 2²⁰¹⁸) - (1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁷)]

                           = 2.[2.(1 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁷ - (1 + 2 + 2² + .... + 2²⁰¹⁷)]

                           = 2.(1 + 2 + 2² + 2³ +.. + 2²⁰¹⁶ +  2²⁰¹⁷)

                           = 2.[(1 + 2) + (2² + 2³ )+.... + (2²⁰¹⁶ +  2²⁰¹⁷)]

                           = 2.[(1 + 2) + 2².(1 + 2) + ... + 2²⁰¹⁶.(1 + 2)]

                           = 2.(3 + 2².3 + ... + 2²⁰¹⁶.3

                           = 2.3.(1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁶) \(⋮\)3

=> 2²⁰¹⁹ - 2 \(⋮\)3 (đpcm)

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{2020}+2^{2021}+2^{2022}\\=(2+2^2)+(2^3+2^4)+(2^5+2^6)+...+(2^{2021}+2^{2022})\\=2\cdot(1+2)+2^3\cdot(1+2)+2^5\cdot(1+2)+...+2^{2021}\cdot(1+2)\\=2\cdot3+2^3\cdot3+2^5\cdot3+...+2^{2021}\cdot3\\=3\cdot(2+2^3+2^5+..+2^{2021})\)

Vì \(3\cdot\left(2+2^3+2^5+...+2^{2021}\right)⋮3\)

nên \(A⋮3\).

\(Toru\)

A=(2+2²)+2²(2+2²)+...+2²⁰²⁰(2+2²)

A= 6.1+2².6+...+2²⁰²⁰.6

A=6(1+2²+...+2²⁰²⁰) chia hết cho 3

vậy A chia hết cho 3

A=(2+2²)+(2³+2⁴)+(2⁵+2⁶)+.......+(2²⁰¹⁹+2²⁰²⁰)+(2²⁰²¹+2²⁰²²)

A=2.(1+2)+2³.(1+2)+2⁵.(1+2)+.......+2²⁰¹⁹.(1+2)+2²⁰²¹.(1+2)

A=2.3+2³.3+2⁵.3+.......+2²⁰¹⁹.3+2²⁰²¹.3

A=3.(2+2³+2⁵+........+2²⁰¹⁹+2²⁰²¹)

Vì 3⋮3⇒A⋮3

Nếu trong a,b có 1 số chẵn

=> Bài toán được chứng minh

Nếu a,b đều là số lẻ

a + b là số chẵn

=> Bài toán được chứng minh

=> Điều phải chứng minh 

Giả sử a = 1

111 không chia hết cho 33 

Vậy đề bạn chưa đúng 

vì aaa = a x 3 nên a x 3 cũng chia hết cho 3 

Vậy aaa chia hết cho 3

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷

= (1 + 2) + (2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷)

= (1 + 2) + 2²(1 + 2) + 2⁴(1 + 2) + 2⁶(1 + 2)

= (1 + 2)(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶) 

= 3(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶) \(⋮3\)(ĐPCM)

2S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ 

S = (1+2 ) + (2² + 2³ ) + (2⁴ + 2⁵ ) + (2⁶ +2⁷)

S = 3 + 2²(1+2) + 2⁴(1+2) + 2⁶(1+2)

S = 3+2².3 + 2⁴.3 + 2⁶ .3 

S = 3(1+2² + 2⁴ + 2⁶ ) \(⋮\) 3

=> đpcm

Vì 1+2=3 \(⋮\)3 =>(1+2)+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷=>S \(⋮\)3

Vậy S \(⋮\)9

Nhớ k cho mình nhé !

b) cho 1 số tự nhiên a bất kì thì 4 số TN liên tiếp là a -> a+ 1 ; a + 2 ; a + 3 
tổng = a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a + 6 = 4(a + 1) + 2 chia 4 dư 2 
hoặc cho 1 số tự nhiên a - 1 bất kì thì 4 số TN liên tiếp là a - 1 -> a ; a + 1 ; a + 2 
tổng = a - 1 + a + a + 1 + a + 2 = 4a + 2 chia 4 dư 2 
=> dù cho chọn 4 số TN Liên tiếp thì tổng của chúng khi chia 4 luôn dư 2

bài này trong sbt 6 giữa giai xem mà mấy bài này gọi a là ra dễ lắm

3 số tự nhiên liên tiếp có dạng a,a+1, a+2. theo đề a+a+1+a+2 chia hết cho 3<=>3a+3 chia hết cho 3=>3 số tự nhiên liên tiếp chia  hết cho 3