Cho a, b, c là 3 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)
CMR: Tích abc là số chính phương
Cho các số nguyên dương a;b;c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: \(\left(a+b\right).c=ab\) Xét tổng M=a+b có là số chính phương không ? Vì sao?
Gọi ƯCLN của a‐c và b‐c là d
Mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a‐c và b‐c là hai số chính phương. Đặt a‐c = p2; b‐c = q2
﴾ p; q là các số nguyên﴿
c2 = p2q2c = pq a+b = ﴾a‐ c﴿ + ﴾b – c﴿ + 2c = ﴾ p+ q﴿2 là số chính phương.
Cho x,y,z là na số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn: \(\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2\) .CMR: xyz là số chính phương
Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn
\(c\left(ac+1\right)^2=\left(5c+2b\right)\left(2c+b\right)\)
\(cmr\)\(c\)là số chính phương
giả sử c chẵn khi đó ta có:
\(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)+v_2\left(2c+b\right)\)
Nếu b lẻ thì ta có: \(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)=v_2\left(5c\right)\Rightarrow v_2\left(5c\right)< v_2\left(2b\right)=1\)
Điều này vô lý!
Do đó c lẻ: Xét p|c là 1 ước nguyên tố của c
Ta có: \(v_p\left(c\right)=v_p\left(5c+2b\right)+v_p\left(2c+b\right)\)
Ta thấy \(v_p\left(c\right)>v_p\left(5c+2b\right);v_p\left(2c+b\right)>0\)
Do đó: \(v_p\left(5c+2b\right)=min\left[v_p\left(c\right);v_p\left(4c+2b\right)\right]\)
\(\Rightarrow v_p\left(5c+2b\right)=v_p\left(4c+2b\right)=v_p\left(2c+b\right)\)
\(\Rightarrow v_p\left(c\right)=2v_p\left(5c+2b\right):\)số chẵn nên => c là số chính phương.(đpcm)
Cho a;b;c là các số nguyên dương thỏa mãn : \(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\). Chứng minh c là số chính phương
Ta có : \(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)=6c^2+5bc+b^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=b^2\)
Gọi \(\left(c;a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=d\)
Khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}c⋮d\\a^2c^2+2ac-6c+1-5b⋮d\end{cases}\Rightarrow1-5b⋮d}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}c=xd\\a^2c^2+2ac-6c+1-5b=yd\end{cases}}\left[x,y\in Z;\left(x;y\right)=1\right]\)
\(\Rightarrow c\left(a^2c^2+2a-6c+1-5b\right)=xyd^2\Rightarrow b^2=xyd^2\)
\(\Rightarrow b⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy c là số chính phương.
Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn ab = c(a+b) và a, b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng abc là số chính phương.
a) CHO 3 SỐ DƯƠNG a , b , c THỎA MÃN abc=1 . CMR: (a+b)(b+c)(c+a)>= 2(1+a+b+c)
b) CHO m,n LÀ 2 SỐ NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN: m^2+n^2+2018 CHIA HẾT CHO mn. CMR m,n LÀ 2 SỐ LẺ VÀ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab)) = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1
Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD)
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD)
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD).
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3
cho 3 số nguyên a,b,c thỏa mãn 2a+b,2b+c,2c+a đều là số chính phương.biết rằng 1 trong 3 số chính phương trên chia hết cho 3.CMR: P=\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\) chia hết cho 81.
giả sử 2a+b chia hết cho 3 thì 2 số kia chia 3 dư 1 vì nó là scp
nên 2b+c-2c-a = 2b-a-c chia hết cho 3
lại trừ đi 2a+b thì được b-c-3a chia hết cho 3 suy ra b-c chia hết cho 3
tương tự ta có c-a và a-b chia hết cho 3
cậu phân tích p ra sẽ triệt tiêu hết a^3, b^3 , c^3 và còn lại -3ab(a-b)-3bc(b-c)-3ca(c-a) = -3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 81
Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}\). CMR nếu a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau thì a,b,c đều là các số chính phương
Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn \(\left(a,b,c\right)=1\)và \(ab=c\left(a-b\right)\)
Chứng minh rằng a - b là một số chính phương.
Ta có: \(ab=c\left(a-b\right)\)
<=> \(c^2=ac-bc-ab+c^2\)
<=> \(c^2=a\left(c-b\right)+c\left(c-b\right)\)
<=> \(c^2=\left(c-b\right)\left(a+c\right)\)
Đặt: ( c - b ; a + c ) = d
=> \(c^2⋮d^2\)=> \(c⋮d\)(1)
và \(\hept{\begin{cases}c-b⋮d\\a+c⋮d\end{cases}}\)(2)
Từ (1); (2) => \(b;a⋮d\)(3)
Từ (1); (3) và (a; b ; c ) =1
=> d = 1 hay c - b; a + c nguyên tố cùng nhau
Mà \(\left(c-b\right)\left(a+c\right)=c^2\)là số chính phương
=> c - b ; a + c là 2 số chính phương
Khi đó tồn tại số nguyên dương u, v sao cho: \(c-b=u^2;a+c=v^2\)khi đó: \(c^2=u^2.v^2\)<=> c = uv ( vì c, u,, v nguyên dương )
Ta có: \(a-b=\left(a+c\right)+\left(c-b\right)-2c\)
\(=u^2+v^2-2uv=\left(u-v\right)^2\) là số chính phương.