Chứng minh rằng : Trung điểm các cạnh của một lục giác đều là đỉnh của một lục giác đều
Cho ABCDEF là lục giác lồi nội tiếp đường tròn bán kính R có các cạnh AB=CA=EF=R. Chứng minh rằng trung điểm 3 cạnh BC, DE, FA là đỉnh của một tam giác đều.
Ta cần chứng minh tam giác MNP là tam giác cân và có một góc bằng \(\frac{\Pi}{3}\)
Giả sử lục giacs có hướng âm, kí hiệu \(f\) là phép quay vec tơ theo góc \(-\frac{\Pi}{3}\) và M, N. P theo thứ tự là trung điểm FA, BC, DE
Khi đó AB=BO, CD=DO=OC, EF=FO=OE nên các tam giác ABO, CDO, EFO đều và có hướng âm
Suy ra \(f\left(\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AO}\), \(f\left(\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OD}\), \(f\left(\overrightarrow{FO}\right)=\overrightarrow{FE}\)
Từ đó ta có :
\(f\left(\overrightarrow{MN}\right)=f\left(\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FC}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\overrightarrow{AB}\right)+f\left(\overrightarrow{FC}\right)\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AO}\right)+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{FE}\right)\)
\(=\overrightarrow{MP}\)
Suy ra tam giác MNP cân và có góc PMN = \(\frac{\Pi}{3}\) => Điều phải chứng minh
Cho hình lục giác đều cạnh a. Gọi M là một điểm bất kù trong hình lục giác và d là tổng khoảng cách từ điểm M đến các cạnh của hình lục giác.
a, Chứng minh rằng d không phụ thuộc vào vị trí của M
b, Tính d theo a
Chứng minh trung điểm 3 cạnh đôi một không kề nhau của một lục giác đều luôn làm thành ba định của 1 tam giác đều
Chứng minh trung điểm 3 cạnh đôi một không kề nhau của một lục giác đều luôn làm thành ba định của 1 tam giác đều
Chứng minh trung điểm 3 cạnh đôi một không kề nhau của một lục giác đều luôn làm thành ba định của 1 tam giác đều
Chứng minh trung điểm các cạnh của một ngũ giác đều là các đỉnh của một ngũ giác đều
Chứng minh: Các tam giác DDAE, DDBC, DCED, DCAB, DBEA bằng nhau rồi dựa vào tính chất đường trung bình suy ra các cạnh của ngũ giác MNPQR bằng nhau.
Chứng minh DDPN, DCNM, DBMR, DAQR, DQQP bằng nhau và dựa vào góc P D N ^ = 1080, từ đó suy ra các góc ngũ giác MNPQR bằng nhau và cùng bằng 1080.
Cho lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các tia AP,BP,CP,DP,EP,FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt tại các điểm M1,M2,M3,M4,M5,M6( các điểm này lần lượt khác các điểm A,B,C,D,E,F). Chứng minh rằng lục giác M1M2M3M4M5M6 có ít nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1.
Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60o. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.
+ ABCD là hình thoi
⇒ AD // BC
+ ABCD là hình thoi ⇒ AB = BC = CD = DA
Mà E, F, G, H là trung điểm của 4 đoạn thẳng trên
⇒ AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA.
ΔAEH có góc A = 60º và AE = AH nên là tam giác đều
+ Lại có ΔAEH đều
⇒ EH = AH = AE.
Chứng minh tương tự : FG = FC = CG
⇒ EB = BF = FG = GD = DH = HE.
Vậy EBFGDH có tất cả các góc bằng nhau và tất cả các cạnh bằng nhau nên là lục giác đều.
Cho hình lục giác đều ABCDEF có diện tích là 2022 dm2. Nối các điểm giữa của các cạnh của hình lục giác đều đó lại được một hình lục giác đều mới. Tính điện tích hình đó.