CMR : A = \(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....\left(2n-1\right).2n}{2^n}\) là một số nguyên
Bài 1: CMR
a) A = \(\frac{\left(n+1\right).\left(n+2\right)....\left(2n-1\right).\left(2n\right)}{2^n}\) là số nguyên.
b) B = \(\frac{3.\left(n+1\right).\left(n +2\right)...\left(3n-1\right).3n}{3^n}\)là số nguyên.
CMR với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\) (1)
với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
=> Từ giả thiết quy nạp ta có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*
CMR: \(x=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...\left(2n-1\right)\cdot2n}{2^n}\) là một số nguyên
Chỉ chứng minh được với điều kiện \(n\in N\)* (với \(n\) nguyên âm thì hiển nhiên quy luật trên tử số có vấn đề về mặt sắp xếp, \(n+1< n+2\) nhưng \(n+1>2n\) , còn với n không nguyên thì nó chẳng có quy luật nào cho tử số cả, \(n=0\) thì hmmm, tử số ko có quy luật nhưng chắc chắn =0)
Ta sử dụng quy nạp:
- Với \(n=1\Rightarrow x=\frac{2}{2^1}=1\) nguyên (đúng)
- Với \(n=2\Rightarrow x=\frac{3.4}{2^2}=3\) nguyên (đúng)
- Giả sử \(x\) là số nguyên với \(n=k\) tức là:
\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...\left(2k-1\right)2k}{2^k}\) nguyên
- Ta cần chứng minh \(x\) cũng nguyên với \(n=k+1\)
Thật vậy, khi đó:
\(x=\frac{\left(k+2\right)\left(k+3\right)...\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{2^{k+1}}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}.\frac{\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{2.\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}.\left(2k+1\right)\)
Do \(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}\) nguyên và \(2k+1\) nguyên
\(\Rightarrow x=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}\left(2k+1\right)\) nguyên (đpcm)
1. Tìm x;y nguyên tố biết : 59x + 46y=2004
2. CMR: \(\frac{1.3.5.7.....\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}=\frac{1}{2^n}\) với n thuộc N*
a, 59x + 46y = 2004
Vì 2004 là số chẵn, 46y là số chẵn => 59x là số chẵn
=> x là số chẵn, mà x là số nguyên tố
=> x = 2
=> 2.59 + 46y = 2004
=> 46y = 2004 ‐ 118
=> 46y = 1886
=> y = 1886:46 => y = 41
Vậy x = 2; y = 41
CMR \(\frac{1.3.5.7............\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)............2n}\)=\(\frac{1}{2^n}\)
CMR : \(\frac{1.3.5.7..............\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...............2n}\) =\(\frac{1}{^{2^n}}\)
Ta có: \(\frac{1.3.5.7.....\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}\)
\(=\frac{1.2.3.4..5.6...\left(2n-1\right).2n}{\left(2.4.6....2n\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....2n}\)
\(=\frac{1.2.3.4.5.6...\left(2n-1\right)}{2^n.1.2.3....n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....2n}\)
\(=\frac{1}{2^n}\left(đpcm\right)\)
Cho \(f\left(n\right)=\left(n^2+n+1\right)^2+1\) với n là số nguyên dương.
Đặt \(P_n=\frac{f\left(1\right).f\left(3\right).f\left(5\right).......f\left(2n-1\right)}{f\left(2\right).f\left(4\right).f\left(6\right).......f\left(2n\right)}\).Chứng minh rằng:\(P_1+P_2+P_3+...........+P_n< \frac{1}{2}\)
CMR: \(\forall n\in N\)thì \(\left|\left\{\frac{n}{1}\right\}-\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}-...-\left(-1\right)^n\left\{\frac{n}{n}\right\}\right|< \sqrt{2n}\)
CMR \(\forall n\in\)N* ta có
\(\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+...+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\)