a: Xét ΔACH vuông tại H và ΔKCH vuông tại H có 

HC chung

HA=HK

Do đó: ΔACH=ΔKCH

a) Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

BM = CM (gt)

AM =DM (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)  (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CMD\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\Delta AMB=\Delta CMD\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{DCM}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên AB //CD.

c) Xét tam giác AME có MH là đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác AME cân tại M.

Suy ra MA = ME

Lại có MA = MD nên ME = MD.

d) Xét tam giac AED có MA = ME = MD nê tam giác AED vuông tại E.

Suy ra ED // BC

Xét tam giác cân MED có MK là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy thì \(MK\perp ED\Rightarrow MK\perp BC\)

NGU

Ko cần vẽ hình

a, xét tam giác ACH và tam giác KCH có : CH chung

góc AHC = góc KHC = 90 

AH = HK do H là trđ của AK (gt)

=> tam giác ACH = tam giác KCH (2cgv)

b, xét tam giác  AEC và tam giác DEB có : góc BED = góc CEA (đối đỉnh)

BE= EC do E là trđ của BC (GT)

AE = ED do E là trđ của AD (gt)

=> tam giác AEC = tam giác DEB (c-g-c)

=> BD = AC (đn)

 tam giác ACH = tam giác KCH (câu a) => AC = CK (đn)

=> BD = CK (tcbc)

c, xét tam giác AEH và tam giác KEH có: EH chung

AH = HK (câu a)

góc AHE = góc KHE = 90

=> tam giác AEH = tam giác KEH (2cgv)

=> góc AEH = góc KEH mà EH nằm giữa EA và EK 

=> EH là phân giác của góc AEK (đn)

Vẽ nháp bằng tay, hình không đẹp cho lắm :v Bài viết có hơi lỗi.

Bài toán phụ : Chứng minh tam giác vuông có 1 góc 60 độ thì cạnh góc vuông nhỏ hơn sẽ bằng 1 nửa cạnh huyền.

Tam giác MNP vuông tại M có góc N là 60 độ.

Trên tia đối tia MN lấy điểm Q sao cho MQ=MN

Tam giác NPQ có PM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại P, mà lại có 1 góc 60 độ nên là tam giác đều ( Dấu hiệu nhận biết tam giác đều), từ đó suy ra NQ = NP, mà NQ= 2MN nên MN = \(\frac{1}{2}\)NP, bài toán được chứng minh.

Tương tự với bài toán của chúng ta :

\(\Delta ABC\)vuông tại Acó \(\widehat{B}=60^o\) \(\Rightarrow AB=\frac{1}{2}BC\)

\(\Delta ABH\)vuông tại H có \(\widehat{B}=60^o\) \(\Rightarrow HB=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow HB=\frac{1}{4}BC\)

Trước hết \(\Delta ABH\) vuông tại H có \(\widehat{B}=60^o\)

 nên \(\widehat{HAB}=90^o-60^o=30^o\)Mà \(\widehat{DAH}+\widehat{HAB}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=60^o\)

\(\Delta DAH\)cân tại A ( AD = AH ), có góc DAH là 60^o nên là tam giác đều ( Dấu hiệu nhận biết tam giác đều )

Như vậy AI là đường cao đồng thời cũng là phân giác góc DAH

\(\Rightarrow\widehat{IAH}=\frac{1}{2}\widehat{DAH}=\frac{60^o}{2}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{IAH}+\widehat{HAB}=30^o+30^o=60^o\)

\(\Delta KAB\)có \(\widehat{KAB}=\widehat{KBA}=60^o\) nên là tam giác đều

\(\Rightarrow KB=AB\)

Mà \(HB=\frac{1}{2}AB\Rightarrow HB=\frac{1}{2}KB\), hay H là trung điểm của KB.

Vậy ....

dung roi

bạn ấy làm đúng rồi, nhưng có vẻ bạn ấy làm cách áy là hơi dài nhỉ ?

Xét tam giác ACD và tam giác MBD có:

      AD = DM (gt)

      BD = DC (gt)

   \(\widehat{BDM}\) = \(\widehat{ADC}\) (hai góc đối đỉnh)

⇒ \(\Delta\)ACD = \(\Delta\) MBD  (c-g-c)

Xét tứ giác ABMC có

     AD = DM

      BD = DC

⇒ tứ giác ABMC  là hình bình hành vì tứ giác có hai đường chéo căt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.

⇒ AC // BM

⇒ \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{MCA}\) (vì tứ giác ABMC là hình bình hành)

 xét tam giác ACD và tam giác MBD có 

AD=DM [ gt ]

BD=DC[ gt ]

BDM = ADC hai góc đối đỉnh

suy ra tam giác ACD= tam giác MBD [ c-g-c]

xét tứ giác ABMC có

AD = DM

BD=DC

suy ra tứ giác ABMC là hình bình hành vì tứ giác  có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành

suy ra ABM=MCA vì tứ giác ABMC là hình bình hành .