Cho a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)
Chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b,c 0.Chứng minh rằnga,frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}b,frac{4}{a}+frac{5}{b}+frac{3}{c}ge4left(frac{3}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{1}{c+a}right)
Đọc tiếp
Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{2}{a+b}\)+\(\frac{2}{b+c}\)+\(\frac{2}{c+a}\)
b,\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{5}{b}\)+\(\frac{3}{c}\)\(\ge\)\(4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c 0.Chứng minh rằnga,frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}b,frac{4}{a}+frac{5}{b}+frac{3}{c}ge4left(frac{3}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{1}{c+a}right)
Đọc tiếp
Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{2}{a+b}\)+\(\frac{2}{b+c}\)+\(\frac{2}{c+a}\)
b,\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{5}{b}\)+\(\frac{3}{c}\)\(\ge\)\(4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
a) Cho \(ab+bc+ca=abc\ne0\)và \(a+b+c=0\) Chứng minh \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\).
b) a,b,c >0 và a+b+c=1 . Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Bạn nào học qua rồi thì giải hộ tớ bài này với.1.Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giácChứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)abc2.Cho a, b, c0 thoả mãn ab+bc+ca1.Tim min M frac{3a^2b^2+1}{c^2+1}+frac{3b^2c^2+1}{a^2+1}+frac{3c^2a^2+1}{b^2+1}3.Cho a,b,c0 thoả mãn a+b+c3.Tìm min N frac{3+a^2}{b+c}+frac{3+b^2}{c+a}+frac{3+c^2}{a+b}4.Cho a, b, c0 thoả mãn abc1Chứng minh: frac{ab}{a^5+b^5+ab}+frac{bc}{b^5+c^5+bc}+frac{ca}{c^5+a^5+ac}1
Đọc tiếp
Bạn nào học qua rồi thì giải hộ tớ bài này với.
1.Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)<=abc
2.Cho a, b, c>0 thoả mãn ab+bc+ca=1.
Tim min M = \(\frac{3a^2b^2+1}{c^2+1}+\frac{3b^2c^2+1}{a^2+1}+\frac{3c^2a^2+1}{b^2+1}\)
3.Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=3.
Tìm min N = \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\)
4.Cho a, b, c>0 thoả mãn abc=1
Chứng minh: \(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ac}<=1\)
1.Chứng minh sqrt{x^2+xy+y^2}+sqrt{x^2+xz+z^2}gesqrt{y^2+yz+z^2}2. Cho a,b,c0. Chứng minh left(sqrt[3]{a}+sqrt[3]{b}+sqrt[3]{c}right)left(frac{1}{sqrt[3]{a}}+frac{1}{sqrt[3]{b}}+frac{1}{sqrt[3]{c}}right)-frac{a+b+c}{sqrt[3]{abc}}le63. Cho a,b0 , n là số nguyên dương. Chứng minh frac{1}{sqrt[n]{a}}+frac{1}{sqrt[n]{b}}ge2sqrt[n]{frac{2}{a+b}}4. Cho a,b,c 0. Chứng minh frac{1}{a^2+bc}+frac{1}{b^2+ca}+frac{1}{c^2+ba}lefrac{a+b+c}{2abc}
Đọc tiếp
1.Chứng minh \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge\sqrt{y^2+yz+z^2}\)
2. Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\le6\)
3. Cho a,b>0 , n là số nguyên dương. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}\ge2\sqrt[n]{\frac{2}{a+b}}\)
4. Cho a,b,c >0. Chứng minh \(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ba}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
a,Chứng minh \(a^2+b^2+1>=ab+a++b\)
b, Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
5 tháng 7 2020 lúc 10:41
Bài tập 3* . Chứng minh rằng :x^2+y^2+frac{1}{x}+frac{1}{y}ge2left(sqrt{x}+sqrt{y}right) với x, y 0 Bài tập 5* . Chứng minh rằng :frac{a}{b+c+1}+frac{b}{a+c+1}+frac{c}{a+b+1}+left(1-aright)left(1-bright)left(1-cright)le1với 0le a,b,cle1Bài tập 9* . Chứng minh rằng :frac{1}{a^3+b^3+abc}+frac{1}{b^3+c^3+abc}+frac{1}{a^3+c^3+abc}lefrac{1}{abc}với a, b, c 0
Đọc tiếp
Bài tập 3* . Chứng minh rằng :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\) với x, y > 0
Bài tập 5* . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)với \(0\le a,b,c\le1\)
Bài tập 9* . Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)với a, b, c > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Trời ạ cay vãi shit đánh máy xong rồi tự nhiên bấm hủy T.T bài 1 ngắn đã đành ......
\(WLOG:a\ge b\ge c\)
Ta dễ có:\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\)
\(\le\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{b+c+1}\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c+1}\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{a+b+c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(b+c+1\right)\le1+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le1-a\) ( 1 )
Mà theo AM - GM :
\(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le\left(\frac{1-b+1-c+1+b+c}{3}\right)^3=1\)
Khi đó ( 1 ) đúng
Vậy ta có đpcm
Nếu bài toán trở thành
\(\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\) thì bài toán khó định hướng hơn rất nhiều :D
Xem thêm câu trả lời
Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh: \(\frac{1}{a^3.\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3.\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3.\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)
A = 1/ [a³(b+c)] +1/ [b³(a+c)] +1/ [ c³(a+b)]
Ta có 1 / [a³(b+c)] = b²c²/[a(b+c)] , do abc = 1 ==> 1/a² = b²c².
biến đổi tương tự cho các biểu thức còn lại và đặt ab = x, bc = y, ac = z
Suy ra A = x²/(y+z) + y²/(x+z) + z²/(x+y)
áp dụng buniacopski ta có A [ √(y+z)² + √(x+z)² + √(x+y)² ] ≥ (x+y+z)²
==> A ≥ 1/2*(x+y+z)²/(x+y+z) = 1/2( x+y+z) ≥ 3/2 √xyz = 3/2 √(abc)² = 3/2 abc =3/2 (DPCM)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho a, b, c> 0 và abc =1. Chứng minh: \(\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)