Ta có hình vẽ:

Vì BD là phân giác của ABC nên \(ABD=CBD=\frac{ABC}{2}\)

Vì ABC vuông góc tại A nên góc A = 90^o

Xét Δ ABC có: ABC + ACB = 90^o (tính chất của Δ vuông)

=> ABC = 90^o - ACB

=> \(\frac{ABC}{2}=\frac{90^o-ACB}{2}\)

=> CBD = 45^o - \(\frac{ACB}{2}\)

Vì \(CH\perp DE\) nên CHD = 90^o

Xét Δ BHC có: HBC + BCH = 90^o (tính chất của Δ vuông)

=> 45^o - \(\frac{ACB}{2}\) + BCH = 90^o

=> BCH - \(\frac{ACB}{2}\) = 45^o

=> BCH - \(\frac{ACB}{2}\) = \(\frac{BCE}{2}\) (vì BCE = 90^o)

=> BCH \(=\frac{BCE+ACB}{2}=\frac{2.ACB+DCE}{2}=ACB+\frac{DCE}{2}\)

=> BCH - ACB = \(\frac{DCE}{2}\)

=> \(DCH=\frac{DCE}{2}\)

=> CH là tia phân giác của góc DCE (đpcm)

Xét tam giác ABD và tam giác HCD, ta có:

BAC=CHD

ABD+ADB=90

DCH+HDC=90

Mà ADB=HDC⇒ABD=DCH (1)

⇒Tam giác ABD=tam giác HCD

⇒ABD=DCH

Xét tam giác BCE và tam giác HCE, ta có:

C=H

DBC+BEC=90

HCE+BEC=90

⇒Tam giác BCE= tam giác HCE

⇒DBC=HCE (2)

BD la phân giác của ABC

⇒ABD=DBC (3)

Từ (1) (2) (3) ⇒ DCH=HCE

⇒CH là tia phân giác của góc DCE(đpcm)

+ΔABD vuông tại A => ˆABD+ˆADB=90

Mà ˆADB = ˆCDE  đối đỉnh

=>ˆABD^+ˆCDE = 90 (1)

+ΔCBE vuông tại C =>ˆCBE+ˆCEB=90

Mà ˆCBE = ˆABD ( BD là phân giác)

=> ˆCEB+ˆABD = 90 (2)

(1)(2) => ˆCEB =ˆCDE  hay  ˆCED=ˆCDE ( dpcm)

Hiệu của hai số là 4. Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng 
bằng 60. Tìm hai số đó

\(+\)\(ABC\)vuông tại \(A\)--->\(ABD+ADB=90\)

\(ADB=CDE\)(Tính chất của hai góc đối đỉnh)

\(ABD+CDE=90\)

\(+CBE\)vuông tại \(C\)--->\(CBE+CEB=90\)

\(CBE=ABD\)(BD là tia phân giác)

\(CEB+ABD=90\)

\(=>EDC=DEC\)

: Xét ΔCAB có 

M là trung điểm của AB

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét tứ giác AMCN có 

E là trung điểm của đường chéo AC

E là trung điểm của đường chéo MN

Do đó: AMCN là hình bình hành

mà MN⊥AC

nên AMCN là hình thoi

+) Ta có BD là tia phân giác của góc ABC nên: ∠(ABD) = ∠(DBC) (1)

+ Lại có: ∠(ADB)= ∠(CDE) ( hai góc đối đỉnh) (2)

+) Tam giác ABD vuông tại A nên:

∠ (ABD) + ∠(ADB) = 90° (tính chất tam giác vuông) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠ (DBC) + ∠(CDE) = 90° (4)

+) Tam giác BCE vuông tại C nên:

∠ (DBC) + ∠(BEC) = 90° (tính chất tam giác vuông) (5)

Từ (4) và (5) suy ra : ∠ (CDE) = ∠(BEC)

Vậy tam giác CDE có hai góc bằng nhau.

+ΔABD vuông tại A => \(\widehat{ABD}\)\(+\widehat{ADB}\)\(=90\)

Mà \(\widehat{ADB}\)  \(=\widehat{CDE}\)đối đỉnh

=> \(\widehat{ABD}\)\(+\widehat{CDE}\)

+ΔCBE vuông tại C =>\(\widehat{CBE}\)\(+\widehat{CEB}\)

Mà \(\widehat{CBE}\)\(=\widehat{ABD}\) ( BD là phân giác)

=> \(\widehat{CEB}\)\(+\widehat{ABD}\)\(=90(2)\)

(1)(2) => \(\widehat{CEB}\) \(=\widehat{CDE}\)hay  \(\widehat{CED}\) \(=\widehat{CDE}\)( dpcm)