Question

Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Gọi d là đường thẳng đi qua C và vuông góc với BC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D và cắt d ở E. Kẻ CH vuông góc với DE (\(H\in DE\)). Chứng minh CH là tia phân giác của góc DCE.

Answer 1

Ta có hình vẽ:

Vì BD là phân giác của ABC nên \(ABD=CBD=\frac{ABC}{2}\)

Vì ABC vuông góc tại A nên góc A = 90^o

Xét Δ ABC có: ABC + ACB = 90^o (tính chất của Δ vuông)

=> ABC = 90^o - ACB

=> \(\frac{ABC}{2}=\frac{90^o-ACB}{2}\)

=> CBD = 45^o - \(\frac{ACB}{2}\)

Vì \(CH\perp DE\) nên CHD = 90^o

Xét Δ BHC có: HBC + BCH = 90^o (tính chất của Δ vuông)

=> 45^o - \(\frac{ACB}{2}\) + BCH = 90^o

=> BCH - \(\frac{ACB}{2}\) = 45^o

=> BCH - \(\frac{ACB}{2}\) = \(\frac{BCE}{2}\) (vì BCE = 90^o)

=> BCH \(=\frac{BCE+ACB}{2}=\frac{2.ACB+DCE}{2}=ACB+\frac{DCE}{2}\)

=> BCH - ACB = \(\frac{DCE}{2}\)

=> \(DCH=\frac{DCE}{2}\)

=> CH là tia phân giác của góc DCE (đpcm)

Answer 2

Xét tam giác ABD và tam giác HCD, ta có:

BAC=CHD

ABD+ADB=90

DCH+HDC=90

Mà ADB=HDC⇒ABD=DCH (1)

⇒Tam giác ABD=tam giác HCD

⇒ABD=DCH

Xét tam giác BCE và tam giác HCE, ta có:

C=H

DBC+BEC=90

HCE+BEC=90

⇒Tam giác BCE= tam giác HCE

⇒DBC=HCE (2)

BD la phân giác của ABC

⇒ABD=DBC (3)

Từ (1) (2) (3) ⇒ DCH=HCE

⇒CH là tia phân giác của góc DCE(đpcm)