Cho hàm số \(f\left(x\right)\)thỏa mãn \(f\left(3x+1\right)=\left(x-670\right).\left(x-672\right)\)với mọi giá trị của \(x\). Tính \(f\left(2014\right)\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn \(f\left(1\right)=\dfrac{1}{3}\) và \(2f\left(x\right)+x^2\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=3x,f\left(x\right)\ne0\) với mọi \(x\in\left(0;+\infty\right)\) . Biết \(\int_1^2f\left(x\right)dx=a+bln\left(2\right)\), \(\left(a,b\in R\right).\) Tính giá trị T=10a+3b
Cho hàm số \(f\left(x\right)\)thỏa mãn \(f\left(x^3+1\right)=x^2-3x\)với mọi giá trị của \(x\). Tính \(f\left(65\right)\)
Ta có: \(f\left(4^3+1\right)=4^2-4.3\Rightarrow f\left(65\right)=4\)
Ta có: \(x^3+1=65\)
\(\Rightarrow x^3=64\)\(\Rightarrow x=4\)
Thay \(x=4\)vào hàm số ban đầu ta được
\(f\left(65\right)=4^2-3.4=16-12=4\)
Vậy \(f\left(65\right)=4\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\)thỏa mãn \(\left(x+1\right)f\left(x\right)+3f\left(1-x\right)=2x+7\)với mọi giá trị của \(x\). Tính \(f\left(0\right)\)và \(f\left(1\right)\)
Ta có: \(\left(0+1\right).f\left(0\right)+3f\left(1-0\right)=2.0+7\)
\(\Rightarrow f\left(0\right)+3f\left(1\right)=7\Rightarrow3f\left(0\right)+9f\left(1\right)=21\) (1)
\(\left(1+1\right)f\left(1\right)+3f\left(1-1\right)=2.1+7\)
\(\Rightarrow2f\left(1\right)+3f\left(0\right)=9\)(2)
Từ (1) và (2) ta được: \(3f\left(0\right)+9f\left(1\right)-2f\left(1\right)-3f\left(0\right)=21-9\)
\(\Rightarrow7f\left(1\right)=12\Rightarrow f\left(1\right)=\frac{12}{7}\)
Khi đó: \(f\left(0\right)=7-3f\left(1\right)=7-3.\frac{12}{7}=\frac{13}{7}\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+2021x=0,\forall x\in R.\) Tính giá trị của biểu thức \(T=5f\left(2\right)+36f'\left(2\right)\) .
Cho hàm số \(f\left(x\right)\)thỏa mãn \(f\left(2.f\left(x\right)\right)=5x-1\)với mọi giá trị của \(x\)và \(f\left(2015\right)=50\). Tính \(f\left(100\right)\)
\(f\left(2.f\left(2015\right)\right)=2015.5-1\)
\(\Rightarrow f\left(2.50\right)=10074\Rightarrow f\left(100\right)=10074\)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn: \(2xf'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}cosx,\forall x\in\left(0;+\infty\right)\) và \(f\left(4\Pi\right)=0\)
Tính giá trị biểu thức \(f\left(9\Pi\right)\)
\(2x.f'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}.cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=x.cosx\)
\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'=x.cosx\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'dx=\int x.cosxdx\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=x.sinx+cosx+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx+C.\sqrt{x}\)
Thay \(x=4\pi\)
\(\Rightarrow0=4\pi.\sqrt{4\pi}.sin\left(4\pi\right)+\sqrt{4\pi}.cos\left(4\pi\right)+C.\sqrt{4\pi}\)
\(\Rightarrow C=-1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx-\sqrt{x}\)
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(2xf''\left(x\right)+f\left(x\right)=3x^2\sqrt{x}\) biết \(f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}\) . Tính f(4)
cho hàm số f(x) thỏa mãn: \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=2\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=2\). tính giá trị \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=?\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=2\)
tìm a, b, c để hso \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) thỏa mãn \(f\left(x\right)+\left(x-1\right)f'\left(x\right)=3x^2\) voi mọi x thuoc R
\(f'\left(x\right)=2ax+b\)
\(f\left(x\right)+\left(x-1\right)f'\left(x\right)=ax^2+bx+c+\left(x-1\right)\left(2ax+b\right)\)
\(=3ax^2+\left(2b-2a\right)x+c-b\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi: \(\left\{{}\begin{matrix}3a=3\\2b-2a=0\\c-b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)