\(2x.f'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}.cosx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=x.cosx\)

\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'=x.cosx\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'dx=\int x.cosxdx\)

\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=x.sinx+cosx+C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx+C.\sqrt{x}\)

Thay \(x=4\pi\)

\(\Rightarrow0=4\pi.\sqrt{4\pi}.sin\left(4\pi\right)+\sqrt{4\pi}.cos\left(4\pi\right)+C.\sqrt{4\pi}\)

\(\Rightarrow C=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx-\sqrt{x}\)

Ta có: \(\left(0+1\right).f\left(0\right)+3f\left(1-0\right)=2.0+7\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)+3f\left(1\right)=7\Rightarrow3f\left(0\right)+9f\left(1\right)=21\) (1)

\(\left(1+1\right)f\left(1\right)+3f\left(1-1\right)=2.1+7\)

\(\Rightarrow2f\left(1\right)+3f\left(0\right)=9\)(2)

Từ (1) và (2) ta được: \(3f\left(0\right)+9f\left(1\right)-2f\left(1\right)-3f\left(0\right)=21-9\)

\(\Rightarrow7f\left(1\right)=12\Rightarrow f\left(1\right)=\frac{12}{7}\)

Khi đó: \(f\left(0\right)=7-3f\left(1\right)=7-3.\frac{12}{7}=\frac{13}{7}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=2\)

Ta có: \(f\left(671.3+1\right)=\left(671-670\right)\left(671-672\right)\Rightarrow f\left(2014\right)=1.\left(-1\right)=-1\)

Ta có: \(3x+1=2014\)

\(\Rightarrow3x=2013\)\(\Rightarrow x=671\)

Thay \(x=671\)vào hàm số trên ta được: 

\(\left(671-670\right).\left(671-672\right)=1.\left(-1\right)=-1\)

Vậy \(f\left(2014\right)=-1\)

Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:

\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)

Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\)  nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:

Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)  

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)

(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)

Để tìm cụ thể giá trị k:

Từ (1) ta suy luận tiếp:

\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\) 

\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)

Do đó ta có:

\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)

Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)

\(f\left(20\right)=f\left(1\right)+f\left(19\right)+3\left(4.1.19-1\right)=f\left(19\right)+12.19-3\)

\(f\left(19\right)=f\left(18\right)+12.18-3\)

\(f\left(18\right)=f\left(17\right)+12.17-3\)

.....

\(f\left(3\right)=f\left(2\right)+12.2-3\)

\(f\left(2\right)=f\left(1\right)+12-3\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên:

\(f\left(2\right)+f\left(3\right)+...+f\left(20\right)=f\left(1\right)+f\left(2\right)+...+f\left(19\right)+12\left(1+2+...+19\right)-3.20\)

\(\Leftrightarrow f\left(20\right)=2220\)

Đoạn này bạn tính kĩ một chút nha, mình tính không biết có sai không.

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)

A. √3+1/2         B. √3−1/2          C. 1−√3/2             D. 0

B

\(f'\left(x\right)-f\left(x\right)=2cosx\)

\(\Leftrightarrow e^{-x}.f'\left(x\right)-e^{-x}.f\left(x\right)=2e^{-x}cosx\)

\(\Rightarrow\left[e^{-x}.f\left(x\right)\right]'=2e^{-x}.cosx\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Rightarrow e^{-x}.f\left(x\right)=\int2e^{-x}cosxdx=e^{-x}\left(sinx-cosx\right)+C\)

Thay \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow e^{-\dfrac{\pi}{2}}.1=e^{-\dfrac{\pi}{2}}+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=sinx-cosx\)

\(\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)

Lấy nguyên hàm hai vế

\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)

Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)

\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)

Chọn D