Cho x,y,z ko âm thỏa \(x^2+y^2+z^2=3\)
Chứng minh \(xy^2+yz^2+zx^2\le2+xyz\)
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 8 2021 lúc 14:04
Cho \(x+y+z=xyz\) và \(xy+yz+zx\ne-3\)
Chứng minh: \(\dfrac{x.\left(y^2+z^2\right)+y.\left(z^2+x^2\right)+z.\left(x^2+y^2\right)}{xy+yz+zx-3}=xyz\)
Chứng minh (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2(xy+yz+zx)
2) cho xyz=2016
chứng minh rằng 2016x/xy+2016x+2016 + y/yz+y+2016 + z/xz+z+1 = 1
a, Cho x, y, z > 0 \(\in[0,1]\). Chứng minh:
\(\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{xz+1}+\dfrac{z}{xy+1}< 2\)
b, x, y, z > 0 : xyz = 1. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2+2y+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le2\)
Cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)
Chứng minh \(\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+zx}+\dfrac{z}{1+xy}\le2\)
Ta có: \(VT=x-\dfrac{xyz}{yz+1}+y-\dfrac{xyz}{xz+1}+z-\dfrac{xyz}{xy+1}\)
\(=x+y+z-xyz\left(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}\right)\)
Ta sẽ chứng minh BĐt sau :
\(xyz\left(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}\right)\ge xyz\)
hay \(xyz\left(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}-1\right)\ge0\)
Mà đây là 1 điều luôn đúng vì \(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}\ge\dfrac{9}{xy+yz+xz+3}\ge\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2+3}>1\) và \(xyz\ge0\)
Do đó \(VT\le x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+y+z\)(*)
Áp dụng BĐt bunyakovsky:
\(VT^2=\left[x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right).1\right]^2\le\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[1+\left(1-yz\right)^2\right]\)\(=\left(2+2yz\right)\left(y^2z^2-2yz+2\right)=4+2y^2z^2\left(yz-1\right)\le4\)
( do \(yz\le\dfrac{y^2+z^2}{2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1\))
\(\Rightarrow VT\le2\) (đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(x=0;y=z=1\) cùng các hoán vị
P/s: Từ chỗ (*) là 1 BĐT có nhiều cách chứng minh .
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+yz+zx=1. Chứng minh \(\frac{x}{x^2-yz+3}+\frac{y}{y^2-zx+3}+\frac{z}{z^2-xy+3}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x^3+y^3+z^3=24.Tìm GTNN cua biểu thức
P=\((xyz+2(x+y+z)^2)/(xy+yz+zx)-8/(xy+yz+zx+1)\)
8 tháng 12 2023 lúc 19:59
Cho các số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(xy+yz+zx=671\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{x}{x^2-yz+2013}+\dfrac{y}{y^2-zx+2013}+\dfrac{z}{z^2-xy+2013}\ge\dfrac{1}{x+y+z}\)
Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)
\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))
Vậy ta có đpcm.
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy+yz+zx=2017. chứng minh : \(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{3}{2}\)
Ta có:\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}\cdot\dfrac{z}{x+z}}\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}}{2}\)
Tương tự ta có:\(\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)
Cộng vế với vế ta có:
\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\)
\(\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)
\(=\dfrac{\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}}{2}=\dfrac{1+1+1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{3}}\)
Đúng 1
Bình luận (1)
cho ba số thực x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=xyz. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=\(\dfrac{x^2}{9z+zx^2}\)+\(\dfrac{y^2}{9x+xy^2}\)+\(\dfrac{z^2}{9y+yz^2}\)