Ta có:

\(119\equiv1\left(mod2\right)\Rightarrow119^{69^{220}}\equiv1\left(mod2\right)\)

\(69\equiv-1\left(mod2\right)\Rightarrow69^{220^{119}}\equiv-1\left(mod2\right)\)

Vậy \(A=220^{119^{60}}+119^{69^{220}}+69^{220^{199}}\equiv0+1+\left(-1\right)\left(mod2\right)\)

hay \(A⋮2\left(1\right)\)

\(119\equiv-1\left(mod3\right)\Rightarrow119^{69^{220}}\equiv-1\left(mod3\right)\)

\(69\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow69^{220^{119}}\equiv0\left(mod3\right)\)

Vậy \(A=220^{119^{60}}+119^{69^{220}}+69^{220^{119}}\equiv1+\left(-1\right)+0\left(mod3\right)\)

hay \(A⋮3\left(2\right)\)

\(119\equiv0\left(mod17\right)\Rightarrow119^{69^{220}}\equiv0\left(mod17\right)\)

\(69\equiv1\left(mod17\right)\Rightarrow69^{220^{119}}\equiv1\left(mod17\right)\)

Vậy \(A=220^{119^{60}}+119^{69^{220}}+69^{220^{119}}\equiv-1+0+1\left(mod17\right)\)

hay \(A⋮17\left(3\right)\)

Từ (1); (2); (3), do 2; 3; 17 nguyên tố cùng nhau từng đội một nên

\(A⋮2.3.17=102\left(đpcm\right)\)

220 ≡ 1 ( mod 3 ) ⇒ \(220^{119^{69}}\) ≡ 1 ( mod 3 )

119 ≡  −1 ( mod 3 ) ⇒ \(119^{69^{220}}\) ≡ −1( mod 3 )

69 ≡ 0 ( mod 3 ) ⇒ \(69^{220^{119}}\) ≡ 0 ( mod 3 )
Do đó A ⋮ 3 ( dư 1 )
Tương tự ta có:
220 ≡ −1( mod 17 ) ⇒ \(220^{119^{69}}\) ≡ -1 ( mod 17 )

119 ≡ 0 ( mod 17 ) ⇒ \(119^{69^{220}}\) ≡ 0 ( mod 17 )

69 ≡ 1 ( mod 17 ) ⇒ \(69^{220^{119}}\) ≡ 1 ( mod 17 )

Suy ra A ⋮ 17 (2)

Lại có A là số chẵn (Vì \(69^{220^{119}}\), \(119^{69^{220}}\) là số lẻ, \(220^{119^{69}}\) là số chẵn)

Suy ra: A ⋮ 2 (3)

Vì 2, 3, 17 nguyên tố cùng nhau nên từ (1), (2), (3) suy ra: A ⋮ 2.3.17 hay A ⋮ 102

Gợi ý:(Làm ra dài lắm! Mình gợi ý cho bạn thôi!^^)

Sử dụng phương pháp đồng dư thức:

102=2.3.17 với ƯCLN(2,3,17)=1.

Chứng minh từng lũy thừa tầng chia hết cho 2,3,17.

=> Các lũy thừa tầng cộng lại chia hết cho 2.3.17=102.

102 = 2.3.17

+) Chứng minh A chia hết cho 2

\(220^{119^{69}}=\left(....0\right)\)

\(69^{220}\) lẻ => \(119^{69^{220}}=\left(....9\right)\)

220¹¹⁹ tận cùng là 0 => kết qỉa là số chẵn => \(69^{220^{119}}=\left(....1\right)\)

=> A có tận cùng là chữ số 0 => A chia hết cho 2      (1)

+) A chia hết cho 3

220 đồng dư với 1 (mod 3) => \(220^{119^{69}}\) đồng dư với 1 mod 3

119 đồng dư với -1 mod 3 => \(119^{69^{220}}\) đồng dư với \(\left(-1\right)^{69^{220}}=-1\) (mod 3)

69 chia hết cho 3 nên \(69^{220^{119}}\) chia hết cho 3  hay \(69^{220^{119}}\) đồng dư với 0 (mod 3)

=> A đồng dư với 1 +(-1) + 0 = 0 (mod 3) =>A chia hết cho 3      (2)

+) A chia hết cho 17

220 đồng dư với (-1) mod 3 =>  \(220^{119^{69}}\) đồng dư với \(\left(-1\right)^{119^{69}}=-1\) ( mod 3)

119 chia hết cho 17 nên \(119^{69^{220}}\) chia hết cho 17

69 đồng dư với 1 mod 17 => \(69^{220^{119}}\) đồng dư với 1 mod 17

=> A đồng dư với (-1) + 0 + 1 = 0 mod 17

=> A chia hết cho 17  (3)

Từ (1)(2)(3) => A chia hết cho 2.3.17 = 102

\(220\equiv0\left(mod2\right)\) nên \(220^{119^{69}}\equiv0\left(mod2\right)\)

\(119\equiv1\left(mod2\right)\) nên \(119^{69^{220}}\equiv1\left(mod2\right)\)

\(69\equiv-1\left(mod2\right)\)nên \(69^{220^{119}}\equiv-1\left(mod2\right)\)

Vậy \(A\equiv0\left(mod2\right)\)hay A chia hết cho 2

Tương tự: A chia hết cho 3; A chia hết cho 17

Vì 2,3,17 là các snt => A chia hết cho 102