1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 \(\ge\) 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố

mấy bn này toàn bình luận, trong khi đó bài mk...

2) n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 = n². (n¹⁹⁹² - 1) + n. (n¹⁹⁹² - 1) + (n² + n + 1)

Áp dụng hằng đẳng thức aⁿ - bⁿ  = (a - b). (a^n-1 + a^n-2. b + ...+ b^n-1) 

=> n¹⁹⁹² - 1 = (n³)⁶⁶⁴ - 1⁶⁶⁴ = (n³  - 1).A(n) = (n-1).(n² + n + 1). A(n) = (n² + n + 1). A'(n)

=> n¹⁹⁹² - 1  chia hết cho n² + n + 1

=> n². (n¹⁹⁹² - 1) + n. (n¹⁹⁹² - 1) + (n² + n + 1) đều chia hết cho  (n² + n + 1) 

=> n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 chia hết cho ( n² + n + 1) \(\ge\) 1  với mọi số tự nhiên n

Để n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 là số nguyên tố thì n² + n + 1 = 1 hoặc n² + n + 1 =  n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 

+) Nếu n² + n + 1 = 1 => n.(n + 1) = 0 => n = 0 (do n + 1> 0) => n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 = 1 không là số ngt

+) Nếu n² + n + 1 =  n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 => n² + n  =  n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³  => n.(n +1)  -  n¹⁹⁹³. (n +1) = 0 

=> n(n +1). (1 - n¹⁹⁹²) = 0 

=> 1 - n¹⁹⁹² = 0 => n1⁹⁹² = 1 => n = 1 thỏa mãn

Vậy n = 1

a.\(n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=\left(n^2+2\right)^2-\left(2n\right)^2=\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2-2n+2\right)\)

nguyên tố nên thừa số nhỏ hơn là \(n^2-2n+2=1\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2=0\Leftrightarrow n=1\)thỏa mãn đề bài

b. ta có :\(n^{1994}+n^{1993}+1-\left(n^2+n+1\right)=\left(n^{1992}-1\right)\left(n^2+n\right)\)

mà \(1992⋮3\Rightarrow n^{1992}-1⋮n^3-1⋮n^2+n+1\)

nên \(n^{1994}+n^{1993}+1⋮n^2+n+1\)mà nó là số nguyên tố nên

\(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n=0\) ( Do n là số tự nhiên nên n= -1 loại bỏ đi )

1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 $\ge$ 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố

\(P=n^4+4\) là số nguyên tố

mà \(n^4\) là số nguyên tố khi \(n=1\) và \(4\) là hợp số

\(\Rightarrow n\in\left\{1;3;5;7;...2k+1\right\}\left(k\in N\right)\)

Tìm tất cả các số tự nhiên n để :

a/ n^2 +12n là số nguyên tố

b/ 3^n +6 là số nguyên tố

số đó là 1