Ta có : C = 4x² + 25y² - 4x + 30y 

=> C = 4x² - 4x + 25y² + 30y

=> C = (4x² - 4x + 1) + (25y² + 30y + 9) - 10

=> C = (2x - 1)² + (5y + 3)² - 10 

Mà \(\left(2x-1\right)^2;\left(5y+3\right)^2\ge0\forall x\)

Nên C =  (2x - 1)² + (5y + 3)² - 10 \(\ge-10\forall x\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là -10 tại x = \(\frac{1}{2}\) và y = \(-\frac{3}{5}\)

Ta có:

4x^2+25y^2-4x+30y

=(4x^2-4x+1)+(25y^2+30y+9)-10

=(2x-1)^2+(5y+3)^2-10

Vì (2x-1)^2>=0 với mọi x; (5y+3)^2>=0 với mọi y

=>(2x-1)^2+(5y+3)^2>=0 với mọi x,y

=>(2x-1)^2+(5y+3)^2-10>=-10 với mọi x,y

Dấu "=" xảy ra <=>2x-1=0 và 5y+3=0

<=>x=1/2 và y=-3/5

\(C=4x^2+25y^2-4x+30y\)

\(=4x^2-4x+1-1+25y^2+30y+9-9\)

\(=\left(2x-1\right)^2+\left(5y+3\right)^2-10\)

Dễ thấy: \(\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2\ge0\\\left(5y+3\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(5y+3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(5y+3\right)^2-10\ge-10\)

Xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\\left(5y+3\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-\frac{3}{5}\end{cases}}\)

a: Ta có: \(A=2x^2-8x+1\)

\(=2\left(x^2-4x+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2-4x+4-\dfrac{7}{2}\right)\)

\(=2\left(x-2\right)^2-7\ge-7\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

bạn làm rõ ra dc ko mik ko hiểu

Có: y=sin^4x−cos^4x
        = (sin^2x−cos^2x)(sin^2x+cos^2x)
        = −cos2x
=> −1≤y≤1
=> min y=−1⇔cos2x=1⇔x=kπ
     max y=1⇔cos2x=−1⇔x=π2+kπ
Vậy min y = -1; max y=1

\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x+sin2x\)

\(=1-\dfrac{1}{2}sin^22x+sin2x\)

Đặt \(sin2x=t\in\left[-1;1\right]\Rightarrow y=f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+t+1\)

\(-\dfrac{b}{2a}=1\) ; \(f\left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}\) ; \(f\left(1\right)=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow y_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(sin2x=-1\)

\(y_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(sin2x=1\)

giúp vs

mấy bài nầy dễ thôi. chỉ cần áp dụng các hằng đẳng thức là đc!

Ta sẽ chứng minh BĐT sau: a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc với mọi a,b,c

\(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac\)

=>\(2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ac\)

=>\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2>=0\)

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2>=0\)(luôn đúng)

a: ab+ac+bc>=3

mà a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc(CMT)

nên a^2+b^2+c^2>=3

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Khi a=b=c=1 thì A=1+1+1+10=13

b: a^2+b^2+c^2<=8

Dấu = xảy ra khi \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{8}{3}\)

=>\(a=b=c=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)

Khi \(a=b=c=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\) thì \(B=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\cdot3-5=2\sqrt{6}-5\)