1) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3+y^2z+yz^2+z^3+z^2x+x^2z}\)

\(=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(x^2+y^2+z^2\right)+y\left(x^2+y^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{2012}{3}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2012}{3}\)

2)

Áp dụng bđt AM-GM:

\(\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2xy}=x-\dfrac{y}{2}\)

Chứng minh tương tự và cộng theo vế:

\(S\ge x-\dfrac{y}{2}+y-\dfrac{z}{2}+z-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2015}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2015}{3}\)

Mk vừa nghĩ ra 1 cách xem thử nhé :v

AM-GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}\\yz\le\dfrac{y^2+z^2}{2}\\xz\le\dfrac{x^2+z^2}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\ge\dfrac{x^3}{x^2+\dfrac{x^2+y^2}{2}+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+\dfrac{y^2+z^2}{2}+z^2}+\dfrac{z^3}{z^2+\dfrac{x^2+z^2}{2}+x^2}\)

\(=\dfrac{x^3}{\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{y^3}{\dfrac{3}{2}\left(y^2+z^2\right)}+\dfrac{z^3}{\dfrac{3}{2}\left(x^2+z^2\right)}\)

Rút mẫu ra rồi làm như bài 2 thôi :>

Vấn đề duy nhất của bài này là đánh giá cụm \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\)

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Với hai dãy số dương \(x\ge y\ge z\) và \(a\ge b\ge c\) ta luôn có: \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y+\left(c-a\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\ge y^3\ge z^3\\\frac{1}{y^2+z^2}\ge\frac{1}{z^2+x^2}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bổ đề ta có:

\(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^3+x^2}+\frac{x^3}{x^2+y^2}\)

Mặt khác: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{1}{2}y\)

Tương tự và cộng lại: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z-1\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

\(P_{min}=-\frac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

@Nguyễn Việt Lâm Anh ơi giúp em nốt bài với ạ !!!

@Vũ Minh Tuấn HISINOMA KINIMADO Nguyễn Huy Thắng

Giúp mình với !!!

đúng rùi đó

Sai