Đặt ab = x, bc = y, ca = z     (x, y, z ≠ 0 thỏa mãn x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz)

⇔ (x+y)^3 − 3xy(x + y) + z^3 = 3xyz <=> (x+y)^3 − 3xy(x + y) + z^3 = 3xyz

⇔ (x + y)^3 + z^3 − 3xy(x + y+ z) = 0 ⇔ (x + y)^3 + z^3 − 3xy(x + y + z) = 0

⇔ (x + y + z)[(x + y)^2 − z (x + y) + z^2] − 3xy(x + y + z) = 0 ⇔ (x + y + z)[(x + y)^2 − z(x + y) + z2] − 3xy(x + y + z) = 0

⇔ (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − xz) = 0 ⇔ (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − xz) = 0

<=> x + y + z = 0   (1)        và           x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − xz = 0   (2)

Với (1): ⇔ ab + bc + ac = 0 ⇔ ab + bc + ac = 0

P = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) = (a + b)(b + c)(c + a)/abc=(ab + bc + ac)(a + b + c) − abc/abc = 0 − abc/abc = −1

Với (2) ⇔ (x − y)^2 + (y − z)^2 + (z − x)^2/2 = 0

⇔ (x − y)^2 + (y − z)^2 + (z − x)^2 = 0 

Ta thấy (x − y)^2; (y − z)^2; (z − x)^2 ≥ 0 ∀x, y, z nên để tổng của chúng bằng 0 thì:

(x − y)^2 = (y − z)^2 = (z − x)^2 = 0 ⇒ x = y = z

⇔ ab = bc = ac ⇔ a=b=c (do a, b, c ≠ 0)

⇒ A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 

Vậy...........

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Hình như đề sai ,  giả sử a = b = c = 0

=> vế trái bằng 0 , vé phải bằng 24

\(\left(3a+b-c\right)^3+\left(3b+c-a\right)^3+\left(3c+a-b\right)^3+24\)
\(=24+27a^3+27b^3+27c^3+3\left(\left(3a+b\right)\left(3a-c\right)\left(b-c\right)+\left(3b+c\right)\left(3b-a\right)\left(c-a\right)+\left(3c+a\right)\left(3c-b\right)\left(a-b\right)\right)\)\(\left(3a+3b+3c\right)^3=27a^3+27b^3+27c^3+81\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow8+A=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Có lẻ như đề sai ,

 giả sử a = b = c = 0

=> vế trái bằng 0 ,

vế phải bằng 24

Lời giải:

Đặt $ab=x,bc=y, ca=z$. Điều kiện đề bài tương đương với: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y+z=0(1)\\ x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0(2)\end{matrix}\right.\)

Với (1):\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(A=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc}{abc}=\frac{0-abc}{abc}=-1\)

Với (2) \(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)

\(\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\) (do $a,b,c\neq 0$)

\(\Rightarrow A=(1+1)(1+1)(1+1)=8\)

Vậy...........

Lời giải:

Đặt $ab=x,bc=y, ca=z$. Điều kiện đề bài tương đương với: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y+z=0(1)\\ x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0(2)\end{matrix}\right.\)

Với (1):\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(A=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc}{abc}=\frac{0-abc}{abc}=-1\)

Với (2) \(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)

\(\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\) (do $a,b,c\neq 0$)

\(\Rightarrow A=(1+1)(1+1)(1+1)=8\)

Vậy...........

Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ta CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},a+b\ge2\sqrt{ab}\)( co si với a,b>0)

Suy ra \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)

a/Áp dụng (1) có

\(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\left(2\right)\).Tương tự ta cũng có:

\(\frac{1}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\left(3\right),\frac{1}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\left(4\right)\)

Cộng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}.\left(6+6\right)=3\left(ĐPCM\right)\)

b/Áp dụng (1) có:

\(\frac{1}{3a+3b+2c}=\frac{1}{\left(a+b+2c\right)+2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\left(5\right)\)

Tương tự có: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)\left(6\right)\)

\(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\left(7\right)\)

Cộng (5),(6) và (7) có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\right)\le\frac{1}{4}.9=\frac{3}{2}\)

\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c-a=2a\\2c-b+a=2b\\2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=c\\3b-2c=a\\3c-2a=b\end{matrix}\right.\text{ và }\left\{{}\begin{matrix}3a-c=2b\\3b-a=2c\\3c-b=2a\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow P=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{2a\cdot2b\cdot3c}=\dfrac{1}{8}\)