Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trương Tuấn Hưng

Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn: a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2

tính A=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)

Akai Haruma
29 tháng 8 2019 lúc 13:28

Lời giải:

Đặt $ab=x,bc=y, ca=z$. Điều kiện đề bài tương đương với: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y+z=0(1)\\ x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0(2)\end{matrix}\right.\)

Với (1):\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(A=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc}{abc}=\frac{0-abc}{abc}=-1\)

Với (2) \(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)

\(\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\) (do $a,b,c\neq 0$)

\(\Rightarrow A=(1+1)(1+1)(1+1)=8\)

Vậy...........

Akai Haruma
27 tháng 8 2019 lúc 17:20

Lời giải:

Đặt $ab=x,bc=y, ca=z$. Điều kiện đề bài tương đương với: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y+z=0(1)\\ x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0(2)\end{matrix}\right.\)

Với (1):\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(A=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc}{abc}=\frac{0-abc}{abc}=-1\)

Với (2) \(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)

\(\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\) (do $a,b,c\neq 0$)

\(\Rightarrow A=(1+1)(1+1)(1+1)=8\)

Vậy...........


Các câu hỏi tương tự
Mai Lan Anh
Xem chi tiết
erza sarlet
Xem chi tiết
Ko no name
Xem chi tiết
Cô bé mùa đông
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
Noob
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Phúc Anh
Xem chi tiết
Phan Ngọc Cẩm Tú
Xem chi tiết