ta có :

A chia hết cho 15 nên A chia hết cho 3 và A chia hết cho 5

a: \(A=1+2+2^2+...+2^{41}\)

=>\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{42}\)

=>\(2A-A=2^{42}-1\)

=>\(A=2^{42}-1\)

b: \(A=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{40}\left(1+2\right)\)

\(=3\left(1+2^2+...+2^{40}\right)⋮3\)

\(A=\left(1+2+2^2\right)+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{39}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(1+2^3+...+2^{39}\right)⋮7\)

a) M = \(5+5^2+5^3+...+5^{80}\)

\(\Leftrightarrow M=5.\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+...+5^{79}\left(1+5\right)\)

\(\Leftrightarrow M=5.6+5^3.6+...+5^{79}.6\)

\(\Leftrightarrow M=6.\left(5+5^3+...+5^{79}\right)⋮6\)

=> M chi hết cho 6 => điều phải chứng minh

) M = (5+5^2) + (5^3+5^4) + … + (5^79+5^80)

M = 5(1+5) + 5^3(1+5) + … + 5^79(1+5)

M= 5.6 + 5^3.6 + … + 5^79.6

M = 6(5+5^3+…+5^79) chia hết cho 6

b)  Ta thấy : M = 5 + 5²+ 5³+ ... + 5⁸⁰ cchia hết cho số nguyên tố 5

Mặt khác, do: 5² + 5³ + ... 5⁸⁰ chia hết cho 5² (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 5²)

=> M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰  không chia hết cho 5² (do 5 không chia hết cho 5²)

=> M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 5²

=> M không phải số chính phương

\(a,\left(n+10\right)\left(n+15\right)\)

Với n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+10\right)\left(n+15\right)=\left(2k+11\right)\left(2k+16\right)=2\left(k+8\right)\left(2k+11\right)⋮2\)

Với n chẵn \(\Rightarrow n=2q\left(q\in N\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+10\right)\left(n+15\right)=\left(2q+10\right)\left(2q+15\right)=2\left(q+5\right)\left(2q+15\right)⋮2\)

Suy ra đpcm

\(b,\) Với n chẵn \(\Rightarrow n=2k\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮2\)

Với n lẻ \(\Rightarrow n=2q+1\Rightarrow n+1=2q+2=2\left(q+1\right)⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮2\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮2\)

Với \(n=3k\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Với \(n=3k+1\Rightarrow2n+1=6k+3=3\left(2k+1\right)⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Với \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3\left(k+1\right)⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Suy ra đpcm

a) B\(=\) 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁶⁰ 

\(=\)(3+3²)+(3³+3⁴)+...+(3⁵⁹+3⁶⁰)

\(=\)3(1+3)+3³(1+3)+...+3⁵⁹(1+3)

\(=\)(3+1)(3+3³+...+3⁵⁹)

\(=\)4(3+3³+...+3⁵⁹)⋮4

⇒B⋮4

b) B\(=\)(3+3²+3³)+...+(3⁵⁸+3⁵⁹+3⁶⁰)

\(=\)3⁰(3+3²+3³)+...+3⁵⁷(3⁵⁸+3⁵⁹+3⁶⁰)

\(=\)3+3²+3³(3⁰+3³+3⁶+...+3⁵⁷)

\(=\)39(3⁰+3³+3⁶+...+3⁵⁷)⋮13

⇒ B⋮13