\(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}=\frac{x^2-x+1+x}{x^2-x+1}=1+\frac{x}{x^2-x+1}\)

xét \(b=\frac{x}{x^2-x+1}\Leftrightarrow bx^2-bx+b=x\)

\(\Leftrightarrow bx^2-\left(b+1\right)x+b=0\left(1\right)\)

Bài toán trở thành tìm b để (1) có nghiệm

Nếu \(b=0\Leftrightarrow-x=0\Rightarrow x=0\)

Nếu \(b\ne0\)cần \(\Delta_x\ge0\Rightarrow\left(b+1\right)^2-4.b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3b^2+2b+1\ge0\)\(\Delta_b=1-\left(-3\right).1=4\)

\(\Rightarrow\frac{-1}{3}\le b\le1\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}\le A\le2\)

Câu hỏi của Nguyễn Kim Chi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(x^2-x+1=x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}>0.\)

tương tự chứng minh x^2+x+1>0

\(-2\left(x^2+2x+1\right)\le0\Rightarrow-\frac{2\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+x+1}\le0\)

\(\Rightarrow\frac{-2x^2-4x-x}{x^2+x+1}\le0\Rightarrow\frac{x^2-x+1-3x^2-3x-3}{x^2+x+1}\le0\Rightarrow\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}-3\le0\Rightarrow D\le3.\)

\(2\left(x^2-2x+1\right)\le0;3\left(x^2+x+1\right)>0\)

\(\frac{2\left(x^2-2x+1\right)}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge0\Rightarrow\frac{2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{3\left(x^2-x+1\right)-x^2-x-1}{3\left(x^2+x+1\right)}=d-\frac{1}{3\Rightarrow}d\ge\frac{1}{3}\)

=> GTNN, GTLN

Khó quá em không biết làm 

Kết luận:   GTNN của P là 3/4; P không có GTLN.

Giải: P là một giá trị của hàm số đã cho khi và chỉ khi tồn tại x để   \(P=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}\) (1), tức là phương trình (1) ẩn x phải có nghiệm.

Ta có  \(\left(1\right)\Leftrightarrow P\left(x^2+2x+1\right)=x^2+x+1\)\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)x^2+\left(2P-1\right)x+\left(P-1\right)=0\).

Nếu \(P=1\) thì (1) trở thành  \(x=0\), phương trình có nghiệm x = 0.

Nếu \(P\ne1\) thì phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi  

                                  \(\Delta=\left(2P-1\right)^2-4\left(P-1\right)^2=4P-3\ge0\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{4}\)

Vậy tập giá trị của P là   \(\frac{3}{4}\le P< +\infty\). Do đó P không có GTLN và P có GTNN = \(\frac{3}{4}\)

\(P=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}=\frac{\frac{3}{4}\left(x^2+2x+1\right)+\frac{\left(x^2-2x+1\right)}{4}}{x^2+2x+1}\)

\(=\frac{3}{4}+\frac{\left(x-1\right)^2}{4\left(x+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra  khi \(x=1\)

1.  x≥1 <=> \(\frac{1}{x}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+1\le2\Leftrightarrow A\le2\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)

2. Áp dụng bđt cosi cho x>0. ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow P\ge2\Rightarrow MinP=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)

3: \(A=\frac{x^2+x+4}{x+1}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x+1\right)+4}{x+1}=x+1-1+\frac{4}{x+1}\)

áp dụng cosi cho 2 số dương ta có: \(x+1+\frac{4}{x+1}\ge2\sqrt{x+1.\frac{4}{x+1}}=2\Leftrightarrow A+1\ge2\Rightarrow A\ge3\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x+1=\frac{4}{x+1}\Leftrightarrow x=1\)

x=1 nhe nhap minh di ma ket ban voi minh nhe

TXĐ:R

Đặt : \(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\)

<=> \(Ax^2-Ax+A-x^2-1=0\)

<=> \(\left(A-1\right)x^2-Ax+A-1=0\)

TH1: A =1 => x =0

TH2: A khác 1

phương trình có nghiệm <=> \(\Delta\ge0\) <=> \(A^2-4\left(A-1\right)^2\ge0\)

<=> \(-3A^2+8A-4\ge0\)
<=> \(\frac{2}{3}\le A\le2\)

A min =2/3 thay vào => x

A max =2 thay vào tìm x .

\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\)

Ta có: \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) với mọi \(x\)

\(P=\frac{3x^2+3}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)+x^2+2x+1}{3\left(x^2-x+1\right)}\)

         \(=\frac{2}{3}+\frac{\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge\frac{2}{3}\)

Giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{2}{3}\)khi \(x+1=0\Rightarrow x=-1\)

\(P=\frac{2x^2-2x+2-x^2+2x-1}{x^2-x+1}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)-\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\)

     \(=2-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\le2\)

Giá trị lớn nhất của P là 2 khi \(x-1=0\Rightarrow x=1\)

 (ß) mình nghĩ đây là toán 9 thì nên dùng delta chứ?

\(Px^2-Px+P=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)x^2-Px+\left(P-1\right)=0\)

\(\Delta=P^2-4\left(P-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)

Vậy...

super easy . tập làm đi cho não có nếp nhăn Giang ơi  :)

Mik làm bài 3 nha

Để \(\frac{2}{x^2-6x+17}\)đạt GTLN thì

\(x^2-6x+17\)đạt GTNN

Mà \(x^2-6x\ge0\)Do 6x mang dấu trừ

Suy ra \(x^2-6x+17\ge17\)

Suy ra \(x^2-6x+17\)đạt GTNN khi

\(x^2-6x+17=17\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x=0\)

Dấu ''='' xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}x=0\\x=6\end{cases}}\)

Vậy \(\frac{2}{x^2-6x+17}\)đạt GTLN tại \(\hept{\begin{cases}x=0\\x=6\end{cases}}\)

Câu cuôi tương tự

Giang ơi thật sư t cx ko biết làm  nhưng t ngếu ngáo tí , làm theo cách  tao nghĩ   

1 . \(\frac{\left(x^2+2x\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}+1}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}\)    \(\left(x+1\right)^2\ge0\) dấu = xảy ra khi x=-1

vậy Min của P là 1/2 

2:  tương tự câu 1

\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

dưới mẫu cũng tương tự vậy Min của  P là \(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1\)

bài 3 tìm Gía trị lớn nhất     \(\frac{2}{\left(x^2-3\right)^2+8}\) vậy Min của mẫu là 8 tức là dấu > mà nó ở dưới mẫu sẽ biến thành dấu <

suy ra  \(q< \frac{2}{8}\)

câu 4 

\(\frac{3}{-\left(x^2+4x+2\right)-8}=\frac{3}{-\left(x+2\right)^2-8}\)  vì -(x+2)^2 nhỏ hơn 0  suy ra max là 8 

dấu max là dâu < mà ở dưới mẫu sẽ biến thành > 

vậy min của Q là 3/-8

a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=1

b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) vào S ta được:

\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)