Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn : \(x+y+z\ge12\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của : \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+z\ge12\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
cho x;y;z là các số dương thỏa\(M=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)mãn điều kiện x+y+z=12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P=\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}\)
Giúp
Ta có \(x+y+z=1\Rightarrow x+y=1-z,\) ta có:
\(\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\frac{1-z}{\sqrt{xy+1-x-y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\)
\(\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}=\frac{1-x}{\sqrt{yz+1-y-z}}=\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}\)
\(\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-y}{\sqrt{zx+1-x-z}}=\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)
Khi đó \(P=\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}+\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}+\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1-z}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\times\frac{1-x}{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\times\frac{1-y}{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}=3\)
Vậy \(MinP=3\) đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\dfrac{z+x}{\sqrt{xz+y}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+\left(x+y+z\right)x}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{zx+\left(x+y+z\right)y}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+xz+yz+z^2}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x^2+xy+xz}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{xz+xy+y^2+yz}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}=3\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
Vậy \(P_{min}=3\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
1) cho x;y;z dương thỏa mãn x+y+z=2 .tìm min P=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
2) cho x;y;z là các số dương sao cho \(x+y+z\ge12\)
tìm min M=\(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
=>minP=1 <=> x=y=z=2/3
cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn xyz=1 . tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ?
Cho x,y,z là các số thực dương, thỏa mãn \(x+y+z\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\right]+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
√x2+1x2 +√y2+1y2 +√z2+1z2 ≥√(x+y+z)2+(1x +1y +1z )2
≥√(x+y+z)2+(9x+y+z )2=√(x+y+z)2+81(x+y+z)2
=√[(x+y+z)2+1(x+y+z)2 ]+80(x+y+z)2
≥√2√(x+y+z)2·1(x+y+z)2 +801 =√82
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=13
Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\frac{1}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+3\sqrt{z}}+\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}+3\sqrt{z}}\)
cho x,y,z là các số dương thay đổi và thỏa mãn xyz=1
tìm giá trị lớn nhất của P=\(\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)
Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)
=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x = y = z = 1
Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1