mk chịu

thấy ngay \(p_6>2\text{ do đó: }VP\equiv1\left(\text{mod 8}\right)\text{ từ đó suy VP cũng đồng dư với 1 mod 8}\)

có bổ đề SCP LẺ chia 8 dư 1 do đó:

trong 5 số: \(p_1;p_2;...;p_5\text{ có 4 số chẵn; 1 số lẻ không mất tính tổng quát giả sử: }p_5\text{ lẻ}\Rightarrow16+p_5^2=p_6^2\text{(đơn giản)}\)

\(p+1=2a^2;p^2+1=2b^2\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(b-a\right)\left(b+a\right)\)

\(\text{thấy ngay p lẻ}\Rightarrow UCLN\left(p^2+1,p+1\right)=1;\Rightarrow\left(a,b\right)=1\Rightarrow\left(b-a,a+b\right)=1\)

thấy ngay p>b-a nên: \(p=a+b;p-1=2a-2b\text{ hay:}a+b=2b-2a+1\Leftrightarrow3a=b+1\)

đến đây thì đơn giản

\(16ab+1⋮a+b\Leftrightarrow16ab+4a+4b+1=\left(4a+1\right)\left(4b+1\right)⋮a+b\)

\(d=\left(4a+1,a+b\right)\Rightarrow4a+1-4a-4b=1-4b⋮d\text{ hay }4b-1⋮d\Rightarrow\left(4a+1,a+b\right)=1\)

do đó: \(4b+1⋮a+b\Rightarrow4b+1=ka+kb\text{ với k}\le3\)

\(+,k=3\Rightarrow4b+1=3a+3b\text{ hay }b+1=3a\)

k=2 thì 4b+1=2a+2b hay 2b=2a-1 

k=1 thì 3b+1=a

\(\frac{p+1}{2}\)là số chính phương nên \(p+1\)phải chia hết cho 4.

Tương tự \(\frac{p^2+1}{2}\)là số chính phương nên \(p^2+1\)chia hết cho 4.

Do đó cả p và p² đều chia 4 dư 3.

Đặt \(p=4k+3\)\(\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow p^2=\left(4k+3\right)^2=16k^2+24k+9=4\left(4k^2+6k+2\right)+1\)chia 4 dư 1.

Do đó không thể tồn tại p để cả p và p² chai cho 4 có cùng 1 số dư. Do đó không có p thỏa mãn.

7 vẫn phù hợp mà

Trần Thùy Dung sai rồi, thử 2 vẫn đúng :))

1 . p =3

2. chịu

Hk tốt

Chứng minh

b) Thiếu đề với p>3. nhé!. Vì p=3 thì p+100=103 là số nguyên tố

p là số nguyên tố nên  có dạng 3k+1, 3k+2, thuộc N

Với p=3k+1 => p+8=3k+9 \(⋮3\)loại vì p+8 là số nguyen tố

Với p=3k+2=> p+100=3k+2+100=3k+102 =3(k+34) chia hết cho 3

=> p+100 là hợp số.

Bài 1:

+Nếu p = 2 ⇒⇒ p + 2 = 4 (loại)
+Nếu p = 3 ⇒⇒ p + 6 = 9 (loại)
+Nếu p = 5 ⇒⇒ p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 12 = 17, p + 14 = 19 (thỏa mãn)
+Nếu p > 5, ta có vì p là số nguyên tố nên ⇒⇒ p không chia hết cho 5 ⇒⇒ p = 5k+1, p = 5k+2, p = 5k+3, p = 5k+4
-Với p = 5k + 1, ta có: p + 14 = 5k + 15 = 5 ( k+3) ⋮⋮ 5 (loại)
-Với p = 5k + 2, ta có: p + 8 = 5k + 10 = 5 ( k+2 ) ⋮⋮ 5 (loại)
-Với p = 5k + 3, ta có: p + 12 = 5k + 15 = 5 ( k+3) ⋮⋮ 5 (loại)
-Với p = 5k + 4, ta có: p + 6 = 5k + 10 = 5 ( k+2) ⋮⋮ 5 (loại)
⇒⇒ không có giá trị nguyên tố p lớn hơn 5 thỏa mãn
Vậy p = 5 là giá trị cần tìm

Bài 2:

ta có: p + 8 là số nguyên tố

=> p > 3

mà p là số nguyên tố

=> p được viết dưới dạng: 3k+1; 3k+2

nếu p = 3k + 1 => p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 ( vô lí, p + 8 sẽ không là số nguyên tố ( đầu bài cho)) (Loại)

nếu p = 3k + 2 => p + 100 = 3k + 2 + 100 = 3k + 102 chia hết cho 3

=> p + 100 là hợp số (đpcm)

\(a)\) Đặt \(A=\left(...\right)\) biểu thức đã cho ( tự ghi ) 

Ta có : 

\(x^2\ge0\)

\(\left|y-13\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(x^2+\left|y-13\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(x^2+\left|y-13\right|+14\ge14\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{12}{x^2+\left|y-13\right|+14}\le\frac{12}{14}=\frac{6}{7}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2+\left|y-13\right|+14=14\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+\left|y-13\right|=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x^2=0\\y-13=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=13\end{cases}}}\)

Vậy GTLN của \(A\) là \(\frac{6}{7}\) khi \(x=0\) và \(y=13\)

Chúc bạn học tốt ~ 

hey, ý b của mk âu?

MÌNH LÀ HSG LỚP 7 ĐÂY!!! :)

a) Để  \(\frac{12}{x^2+\left|y-13\right|+14}\)có GTLN (giá trị lớn nhất)

\(\Leftrightarrow x^2+\left|y-13\right|+14\)có GTNN (giá trị nhỏ nhất)

Mà \(\hept{\begin{cases}x^2\ge0\\\left|y-13\right|\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+\left|y-13\right|\text{​​}\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+\left|y-13\right|+14\ge14\)

Dấu \("="\)xảy ra khi:\(\hept{\begin{cases}x^2=0\\\left|y-13\right|=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y-13=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=13\end{cases}}}\)

Vậy, \(\frac{12}{x^2+\left|y-13\right|+14}\)có GTLN là \(\frac{12}{14}=\frac{6}{7}\)khi \(\left(x;y\right)=\left(0;13\right)\)

b) \(112x+113y=1010\)(1)

\(112x=1010-113y\)(2)

\(x=\frac{1010-113y}{112}\)

Vì \(x\)là số nguyên tố nên \(x>0\)

\(\Rightarrow\frac{1010-113y}{112}>0\)

\(\Rightarrow1010-113y>0\)

\(\Rightarrow1010>113y\)

\(\Rightarrow y< \frac{1010}{113}\)

\(\Rightarrow y< 8.9\)(vì \(\frac{1010}{113}\approx8.9\)

Vì y là số nguyên tố

\(\Rightarrow y\in\left\{2;3;5;7\right\}\)(3)

Từ (2) và (3)

\(\Rightarrow\)Ta có bảng giá trị

\(y\)	\(2\)	\(3\)	\(5\)	\(7\)
\(113y\)	\(226\)	\(339\)	\(565\)	\(791\)
\(112x=1010-113y\)	\(784\)	\(671\)	\(445\)	\(219\)
\(x\)là số nguyên tố	\(7\)	loại	loại	loại

VẬY...

CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!

Vì P là số nguyên tố, P là scp 

=> Vô lý

Vậy không tìm được giá trị nào

Vì P là số nguyên tố, P là scp 

=> Vô lý

Vậy không tìm được giá trị nào

Vì P là số nguyên tố, P là scp 

=> Vô lý

Vậy không tìm được giá trị nào

TA CÓ A>\(\frac{2010}{2009^2+1+2008}\) +\(\frac{2010}{2009^2+2+2007}\) +...+\(\frac{2010}{2009^2+2009}\)                                                     \(\Rightarrow\)A>2009.\(\frac{2010}{2009^2+2009}\)\(\Rightarrow\)A>\(\frac{2009.2010}{2009.2010}\) \(\Rightarrow\) A>1   (1)                                                                         2.TA CÓ A<\(\frac{2010}{2009^2}\) +\(\frac{2010}{2009^2}\) +...+\(\frac{2010}{2009^2}\)                                                                                               \(\Rightarrow\) A<2009.\(\frac{2010}{2009^2}\) \(\Rightarrow\) A<\(\frac{2010}{2009}\) <2 \(\Rightarrow\) A<2     (2)                                                                                          TỪ (1) VÀ (2) SUY RA 1<A<2 .VẬY A KHÔNG PHẢI SỐ NGUYÊN DƯƠNG    (dpcm)

ta có:

\(\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2\left(2n+1\right)}{\left(2n+1\right)+3}\) 

=> Để số đã cho rút gọn được thì 2(2n+1) phải chia hết cho 3

2(2n+1) = 4n+2 = (3+1)n+2 = 3n+n+2 = 3n+(n+2)

=> n+2 chia hết cho 3

=> n = 3k+1 (trong đó k thuộc Z) để phân số \(\frac{2n+1}{n+2}\)rút gọn được.

Ta thấy

- Các số nguyên tố lớn hơn 2 không bao giờ chia hết cho 2

- Nếu p là số nguyên tố thì p^3 chỉ chia hết cho p^2 và p

Vì p^2 +2 là số nguyên tố nên nó không bao giờ chia hết cho 2

=> p^2 không chia hết cho 2 nên p không chia hết cho 2

=> p^3 không chia hết cho 2

Vậy p^3 +2 là số nguyên tố