Cho P=(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2
Q=(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)
Chứng minh rằng: Nếu P=Q thì x=y=z
Cho P = \(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\)
Q = (x+ y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)
Chứng minh rằng nếu P= Q thì x = y = z
P/s: Em mới lớp 7 thôi nên có gì sai mong anh/chị thông cảm ạ.
Khai triển ra ta được: \(Q=x^2+y^2+z^2+3\left(xy+xz+yz\right)\)
\(P=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
Do P = Q nên P - Q = 0.Hay:\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
Nhân 2 vào hai vế suy ra \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}}\) .Suy ra \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Dấu "=' xảy ra khi x = y = z (đpcm)
chứng minh ngược lại bạn ơi
chứng minh x=y=z thì p=q
Cho P=(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2
Q=(x+y)(y+z)(x+z)
Chứng minh: Nếu P=Q thì x=y=z
a) Chứng minh rằng nếu 2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x)
Thì \(\dfrac{x-y}{4}=\dfrac{y-z}{5}\)
b) Cho \(x^2=yz\) . Chứng minh rằng \(\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}=\dfrac{x}{z}\)
Chứng minh rằng: Nếu \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=\left(y+z-2x\right)^2+\left(z+x-2y\right)^2+\left(x+y-2z\right)^2\) thì \(x=y=z\)
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=\left(y+z-2x\right)^2+\left(z+x-2y\right)^2+\left(x+y-2z\right)^2\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=6x^2+6y^2+6z^2-6xy-6yz-6zx\)
\(\Rightarrow4x^2+4y^2+4z^2-4xy-4yz-4zx=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
chứng minh rằng
a) nếu (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2+(x+y-2z)^2 thì x=y=z
phân tích vế trái ta được
2(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))
phân tích vế phải ta được
6(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))
vì VT=VP nên VP-VT=0
→ 4(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))=0
→ 2(2(x2+y2+z2−(xy+yz+zx)))=0→2((x−y)2+(y−z)2+(z−x)2)=0→(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=0
→(x−y)2=0;(y−z)2=0;(z−x)2=0→x=y=z
Chứng minh rằng: Nếu 2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x) thì \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\)
Cho x , y , z > 0 . Chứng minh rằng : \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\ge0\)
Cho \(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\)
và \(Q=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
Chứng minh nếu P=1 thì Q=0
Ta có:
\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\)
Cho \(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\)
và \(Q=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
Chứng minh nếu P=1 thì Q=0