Lời giải:

Ta có:

\(2^3\equiv -1\pmod 9\Rightarrow (2^3)^{2n+1}\equiv (-1)^{2n+1}\equiv -1\equiv 8\pmod 9\)

hay \(2^{6n+3}\equiv 8\pmod 9\)

Đặt \(2^{6n+3}=9k+8\)

Vì $2^{6n+3}$ chẵn nên $9k+8$ chẵn, do đó $k$ chẵn. Đặt $k=2t$

Khi đó: \(2^{2^{6n+3}}+3=2^{9k+8}+3=2^{18t+8}+3\)

Theo định lý Fermat nhỏ:

\(2^{18}\equiv 1\pmod{19}\Rightarrow 2^{18t+8}+3\equiv 2^8+3=259\equiv 12\pmod {19}\)

Vậy \(2^{2^{6n+3}}+3\) chia $19$ dư $12$ chứ không chia hết cho $19$

Lời giải:

$2^3\equiv -1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n}\equiv (-1)^{2n}\equiv 1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=2^{6n}.4\equiv 4\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=9k+4$ với $k$ tự nhiên.

Vì $2^{6n+2}$ chẵn nên $9k$ chẵn $\Rightarrow k$ chẵn.

Khi đó:
\(2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\)

$2^9\equiv -1\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{9k}\equiv (-1)^k\equiv 1\pmod {19}$ (do $k$ chẵn)

$\Rightarrow 2^{9k+4}\equiv 16\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\equiv 16+3\equiv 19\equiv 0\pmod {19}$

Vậy $2^{2^{6n+2}}+3\vdots 19$

k có dâu hiệu chia hết cho 35 , bạn ns mình dâu hiệu mình làm cho

3⁶ⁿ - 2⁶ⁿ \(⋮\) 35 ( n \(\in\) N )

=> 3⁶ⁿ - 2⁶ⁿ = 1⁶ⁿ

→ 1⁶ⁿ => 1 . n

=> TH n là các số chia hết cho 35

\(\Rightarrow3^{6n}-2^{6n}⋮35\)

Thao bài ra ta có : \(3^{6n}-2^{6n}⋮35\)

<=>\(\left(3-2\right)^{6n}⋮35=1^{6n}⋮35\) 

Mà 1 với bất kì mũ nào cũng bằng 1 nên \(1^{6n}⋮35\)<=> \(3^{6n}-2^{6n}⋮35\)=>Đpcm

Vậy bài toán đã được chứng minh

Ta có:3^6.n2^6.n=n.(3^6-2^6)=n.665

Vì 3^6.n-2^6.n chia hết cho 35 và 665 chia hết cho 35 nên n chia hết cho 35

Vậy n chia hết cho 35 ------->đpcm