Question

với n là số nguyên dương, CMR:

\(2^{2^{6n+3}}+3⋮19\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(2^3\equiv -1\pmod 9\Rightarrow (2^3)^{2n+1}\equiv (-1)^{2n+1}\equiv -1\equiv 8\pmod 9\)

hay \(2^{6n+3}\equiv 8\pmod 9\)

Đặt \(2^{6n+3}=9k+8\)

Vì $2^{6n+3}$ chẵn nên $9k+8$ chẵn, do đó $k$ chẵn. Đặt $k=2t$

Khi đó: \(2^{2^{6n+3}}+3=2^{9k+8}+3=2^{18t+8}+3\)

Theo định lý Fermat nhỏ:

\(2^{18}\equiv 1\pmod{19}\Rightarrow 2^{18t+8}+3\equiv 2^8+3=259\equiv 12\pmod {19}\)

Vậy \(2^{2^{6n+3}}+3\) chia $19$ dư $12$ chứ không chia hết cho $19$