Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có hai số cùng phía so với 2, không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab+4\ge2a+2b\)

\(\Leftrightarrow abc+4c\ge2ac+2bc\)

\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-4c+4\)

\(VT\ge2ab+c^2-4c+4+2bc+2ac\)

\(VT\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\left(c-2\right)^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(a+b+c=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(P=\sum\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\sum\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}=\sum\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(a=b=c=\sqrt{3}\)

m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3

Nhân tung tóe + rút gọn ta được: \(\Sigma_{cyc}a^3b^2+\Sigma_{cyc}ab^3\ge abc\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{a^2b}{c}+\Sigma\frac{a^2}{b}\ge ab+bc+ca+a+b+c\) (*) 

(*) đúng do \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2b}{c}+bc\ge2ab\\\frac{a^2}{b}+b\ge2a\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\Sigma\frac{a^2b}{c}\ge ab+bc+ca\\\Sigma\frac{a^2}{b}\ge a+b+c\end{cases}}\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Ta có \(VT=a^2+b^2+c^2+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

  \(\Leftrightarrow VT=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\) (Vì abc=1)

ÁP dụng bđt Cô-si cho 3 số dương, ta có:\(a^2+\frac{1}{b^2}+ab^2\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{b^2}}=3a\)

\(b^2+\frac{1}{c^2}+bc^2\ge3b\)            \(c^2+\frac{1}{a^2}+ca^2\ge3c\)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(a+b+c\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)+3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3\left(a+b+c+1\right)\)     Vì abc=1. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

bđt phụ sai mà cũng ko đc chuẩn hóa

\(\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)

tương tự \(\frac{\Rightarrow ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2}\le\frac{3}{2}\)

=>Thắng Nguyễn :cm theo cách đó sai

SOS cho khỏe :v 

WLOG \(a\ge b\ge c\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(b^2Σ_{cyc}\left(a^3+\frac{4ab}{a^2+b^2}-3\right)=b^2\left(Σ_{cyc}(a^3-abc)-2Σ_{cyc}\left(1-\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)\right)\)

\(=b^2Σ_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2}{a^2+b^2}\right)=\frac{b^2}{2}Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2((a+b+c)(a^2+b^2)-4abc)}{a^2+b^2}\)

\(\ge\frac{b^2}{2}Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2((a+b+c)2ab-4abc)}{a^2+b^2}=b^2Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2ab(a+b-c)}{a^2+b^2}\)

\(\ge\frac{b^2(a-c)^2ac(a+c-b)}{a^2+c^2}+\frac{b^2(b-c)^2bc(b+c-a)}{b^2+c^2}\)

\(\ge\frac{a^2(b-c)^2ac(a-b)}{a^2+c^2}+\frac{b^2(b-c)^2bc(b-a)}{b^2+c^2}\)

\(=\frac{abc^3(a+b)(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\ge0\) (đúng :v)

Bài này đã có ở đây:

Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24