c/m vs mọi số nguyên x, y, z thì
P=(x+y+z)^3-(y+z-x)^3-(x+z-y)^3-(x+y-z)^3 chia hết cho 24
Cho P = ( x+y+z )3 - ( y+z-x )3 - ( x+z-y )3 - ( x+y-z )3 với x,y,z là số nguyên. Chứng minh P chia hết cho 24
MONG MỌI NGƯỜI GIÚP!!!
mk ko biết bởi vì mk mới hok lp 7 thui
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
Cho P=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3) Cmr với mọi x,y,z là số nguyên;cùng tính chẵn lẻ thì P chia hết cho 24 (Áp dụng hằng đẳng thức)
Có \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-\left(x^3-y^3-z^3\right)\)
\(=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(=3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)
\(=3\left(x+y\right)\left[xy+\left(x+y\right)z+z^2\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ \(\Rightarrow\left(x+y\right);\left(y+z\right);\left(z+x\right)\) đều là ba số chẵn
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮8\)
mà (3;8)=1 và 3.8=24
\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮24\) (đpcm)
Có (x+y+z)3−(x3+y3+z3)(x+y+z)3−(x3+y3+z3)
=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)
=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)
=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2
=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]
=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]
=3(x+y)(y+z)(x+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)
Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ ⇒(x+y);(y+z);(z+x)⇒(x+y);(y+z);(z+x) đều là ba số chẵn
⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8
mà (3;8)=1 và 3.8=24
⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24 (đpcm)
1)chứng minh rằng nếu vs mọi số hữu tỉ x,y,z thỏa mãn
(x-y+z)^2=x^2-y^2+z^2 thì (x-y+z)^n=x^n-y^n+z^n
2)chứng minh x^3+y^3-z^3+3xyz chia hết cho x+y-z
tìm thương của phép chia
Ace Legona giúp vs ạ bài 1 thui cx đc
Cho các số nguyên x,y,z thỏa mãn x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)
CMR M= (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 chia hết cho 81
Đag cần gấp ạ
cho x,y,z nguyên và (x-y)*(y-z)*(z-x)=m. Chứng minh rằng: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 chia hết cho m
Một bài toán "lừa" người ta:
Đặt \(a=x-y,b=y-z,c=z-x\Rightarrow a+b+c=0\).
Ta có hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
Trong trường hợp này thì \(a+b+c=0\) nên suy ra đpcm.
CM: mọi số nguyên x,y,z thì
\(B=\left(x+y+z\right)^3-\left(y+z-x\right)^3-\left(x+z-y\right)^3-\left(x+y-z\right)^3\) luôn chia hết cho 24
cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn x+y+z= (x-y)(y-z)(z-x)
CM: M= (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 chia hết cho 81
Áp dụng tính chất :
Nếu a+b+c = 0 hoặc a =b=c thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Sử dụng tính chất trên ta được :
( x - y )^3 + ( y -z )^3 + ( z - x )^3 = 3( x -y )(y -z )( z -x )
♥,Nếu x ,y, z có cùng số dư khi chia cho 3 =>
x-y , y- z , z - x :/ 3 ( :/ là kí hiệu chia hết )
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
♥,G/S trong ba số x,y,z ko có số nào có cùng số dư khi chia hết cho 3
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) ko chia hết cho 3
Từ G/S => x,y,z chia 3 sẽ có 3 số dư là 0,1,2
=> x+y +z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 ( Vô lý )
♥,Vậy trong ba số x,y,z có hai số có cùng số dư khi chia cho 3 . G/S đó là x,y
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 => x +y +z :/3
1,Nếu x,y :/ 3 => z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
2,Nếu x,y chia 3 dư 1 , x+y+z :/3 => z chia 3 dư 1 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
3,Nếu x,y chia 3 dư 2 , x+y + z :/3 => z chia 3 dư 2 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
Tóm lại 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81 hay M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 :/ 81
1. Cho p>3 và p là số nguyên tố. CMR:(p-1).(p+1) chia hết cho 24.
2. Cho x, y, z thuộc Z và (x-y).(y-z).(z-x)=x+y+z
CMR: (x+y+z)chia hết cho 27
Chị sợ e kh hỉu nên chỵ làm dài dòng xíu nha. em hỉu r thi thu gọn lại bỏ bớt mấy chỗ k cần thiết
1. Vì p nguyên tố và p>3 => p không chia hết cho 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p = 3k+1 =>(p-1).(p+1) =(3k+1-1).(3k+1+1)= 3k(3k+2)
Vì 3k chia hết 3 => 3k(3k+2) chia hết cko 3. Hay(p-1).(p+1) ckia hết cho 3 (1)
Tương tự p=3k+2 =>p+1 = 3k+3 chia hết cho 3 =)( p-1)(p+1) chia hết cho 3 (2)
từ (1),(2) => (p-1)(p+1) chia het cho 3
Vì p nto và p >3 => p lẻ => p = 2h+1
Ta có (p-1).(p+1)= (2h+1-1)(2h+1+1)= 2h(2h+2)
Mà 2h và 2h+1 là tích 2 số chẵn liên tiếp => 2h(2h+2) chia hết cho 8
Mà (3,8)=1 => (p-1)(p+1) chia hết cho 24