+) Ta có: DP // AB => ^APD = ^BAP (2 góc so le trong). Mà ^BAP = ^NMB (Do MN // AP)

Nên ^APD = ^NMB => \(\Delta\)ADP ~ \(\Delta\)NBM (g.g) => \(\frac{AD}{NB}=\frac{DP}{BM}\)=> \(AD.BM=NB.DP\)

Hoặc \(AB.BM=NB.DP\)=> \(OB^2=NB.DP\)(Do \(AB.BM=\frac{AB^2}{2}=OB^2\)theo ĐL Pytago)

Hay \(OB.OD=NB.DP\)=> \(\frac{OB}{DP}=\frac{NB}{OD}\)

Xét \(\Delta\)BNO và \(\Delta\)DOP có: ^OBN = ^PDO (=45⁰) \(\frac{OB}{PD}=\frac{NB}{OD}\)(cmt)

=> \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP (c.g.c) (đpcm).

+) \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP (cmt) => ^BON = ^DPO (1)

Trong \(\Delta\)ODP có: ^DOP + ^DPO = 180⁰ - ^ODP = 135⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^DOP + ^BON = 135⁰ => ^NOP = 180⁰ - (^DOP + ^BON) = 45⁰

Vậy ^NOP = 45⁰.

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) fhhhhhhhhh

a) Gọi K là giao của MN và CD

Ta có: \(\widehat{BMN}=\widehat{MTD}\)(so le trong và MN//AP) và \(\widehat{MTD}=\widehat{APD}\) (đồng vị và MN//AP)

\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{APD}\)

Xét \(\Delta BMN\)và \(\Delta DPA\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MBN}=\widehat{PDA}\left(=90^o\right)\\\widehat{BMN}=\widehat{APD}\left(cmt\right)\end{cases}}\)

=> \(\Delta BMN~\Delta DPA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BM}{DP}=\frac{BN}{DA}\Rightarrow\frac{BM}{BN}=\frac{DP}{DA}\)

Mà \(BM=\frac{AB}{2},DA=BD\sin\widehat{ABD}=\frac{\sqrt{2}BD}{2}=\sqrt{2}OB\)

Do đó: \(\frac{\frac{\sqrt{2}OD}{2}}{BN}=\frac{DP}{\sqrt{2}OB}\Rightarrow\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\)

Xét \(\Delta DOP\)và \(\Delta BNO\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{ODP}=\widehat{NBO}\left(=45^o\right)\\\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\end{cases}\Rightarrow\Delta DOP~\Delta BNO\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{DOP}=\widehat{BNO}}\)

Mà \(\widehat{DON}=\widehat{BNO}+\widehat{OBN}=\widehat{BNO}+45^o\)

Và \(\widehat{DON}=\widehat{DOP}+\widehat{NOP}\)

Do vậy \(\widehat{NOP}=45^o\)

2. Ta có \(\frac{OP}{ON}=\frac{OD}{BN}\left(\Delta DOP~\Delta BNO\right)\)

Nên \(\frac{OP}{ON}=\frac{OB}{BN}\Rightarrow\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\) 

Xét \(\Delta OPN\)và \(\Delta BQN\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{PON}=\widehat{OBN}\left(=45^o\right)\\\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\end{cases}\Rightarrow\Delta OPN~\Delta BON\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{OPN}=\widehat{BON}}\)

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP

Ta có \(\widehat{ION}=\frac{180^o-\widehat{OIN}}{2}=90^o-\widehat{OPN}=\widehat{BOC}-\widehat{BON}=\widehat{CON}\)

=> 2 tia OI,OC trùng nhau 

Vậy I thuộc OC

3. Gọi E là giao của AN và PM

BD cắt MN,AP lần lượt tại K,H
\(\Delta BMN\)có: BK là đường phân giác

=> \(\frac{KM}{KN}=\frac{BM}{BN}\). Tương tự \(\frac{HP}{HA}=\frac{DP}{AD}\)

Do đó \(\frac{KM}{KN}=\frac{HP}{HA}\Rightarrow\frac{KM}{HP}=\frac{KN}{HA}=\frac{KM+KN}{HP+HA}=\frac{MN}{AP}\)

\(\Delta EAP\)có: MN//AP => \(\frac{MN}{AP}=\frac{EM}{EP}\) do đó: \(\frac{KM}{HP}=\frac{EM}{EP}\)do đó \(\frac{KM}{HP}=\frac{EM}{EP}\)

\(\Delta EMK~\Delta EPH\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{MEK}=\widehat{PEH}\)

Do đó \(\widehat{MEK}+\widehat{MEH}=\widehat{PEH}+\widehat{MEH}=180^o\)

=> H,E,K thẳng hàng => BD đi qua E

Vậy 3 đường BD,AN,PM đồng quy