Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d = 1. Tìm Max S = \(\sqrt{a+b+c}\) + \(\sqrt{b+c+d}\) + \(\sqrt{c+d+a}\) + \(\sqrt{d+a+b}\)
a) cho a,b,c không âm ; a+b+c=1 . tìm Max S
biết \(S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{a+c}\)
b)a,b,c,d không âm ; a+b+c+d=1,tìm Max S
Biết \(S=\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}\)
Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d = 1. Tìm Max S = \(\sqrt{a+b+c}\) + \(\sqrt{b+c+d}\) + \(\sqrt{c+d+a}\) + \(\sqrt{d+a+b}\)
\(S=\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b+c+d}+\sqrt{c+d+a}+\sqrt{d+a+b}\)
\(\le\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{b+c+d}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{c+d+a}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{d+a+b}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(=\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}\left(a+b+c+d\right)=2\sqrt{3}\)
Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d = 1. Tìm Max S = \(\sqrt[3]{2a+b}\) + \(\sqrt[3]{2b+c}\) + \(\sqrt[3]{2c+d}\) + \(\sqrt[3]{2d+a}\)
Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d = 1. Tìm Max S = \(\sqrt[3]{2a+b}\) + \(\sqrt[3]{2b+c}\) + \(\sqrt[3]{2c+d}\) + \(\sqrt[3]{2d+a}\)
Với 2 số thực x,y>0, ta có:
\(x^3+y^3-x^2y-xy^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\). Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\).
Do đó: \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow x+y\le\sqrt[3]{4x^3+4y^3}\)Áp dụng bđt vừa cm, ta có: \(S=\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}\le\sqrt[3]{8a+12b+4c}+\sqrt[3]{8c+12d+4a}\le\sqrt[3]{48a+48b+48c+48d}=\sqrt[3]{48}\)(vì a+b+c+d=1)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)(vì a+b+c+d=1)
Tìm giá trị lớn nhất của :
a) A = \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) với a,b > 0 và a + b \(\le\)1
b) B = \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\)
với a,b,c,d > 0 và a + b + c + d \(\le\)1
a) \(A=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=2a+2b\le2\)
Vậy GTLN của A là 2 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)
b) Ta có : \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^4=2\left(a^2+b^2+6ab\right)\)
Tương tự : \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(a^2+c^2+6ac\right)\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(a^2+d^2+6ad\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(b^2+c^2+6bc\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(b^2+d^2+6bd\right)\)
\(\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(c^2+d^2+6cd\right)\)
Cộng các vế lại, ta được :
\(B\le6\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bd+2cd+2bc\right)=6\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow B\le6\)
Vậy GTLN của B là 6 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\sqrt{d}\\a+b+c+d=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Cho \(a,b,c,d>0,a+b+c+d=1\). Chứng minh \(\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b+c+d}+\sqrt{a+c+d}+\sqrt{a+b+d}\le2\sqrt{3}\)
Đặt 4 căn thức lần lượt là \(\left(x;y;z;t\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=3\)
Ta cần chứng minh: \(x+y+z+t\le2\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(x+y+z+t\right)^2\le\left(1+1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)=12\)
\(\Rightarrow x+y+z+t\le2\sqrt{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
P/s: việc đặt chỉ để viết cho ngắn, còn thực chất bạn áp dụng luôn Buniacopxki cho 1 dòng cũng được
Tìm GTLN của: \(B=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\)
Với \(a,b,c,d>0\) và \(a+b+c+d=1\)
trong quyển nâng cao phát triển toán 9 đó
rất bổ ích đấy mua về mà đọc
tham khảo nhé bạn :)
https://olm.vn/hoi-dap/detail/222829035519.html
1) cho a,b,c,d > 0. C/m: \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}>2\)
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\); \(\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế: \(VT\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Dấu "=" không xảy ra nên \(VT>2\)
cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn điều kiện abcd=1 Tìm max \(P=\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\right)\left(\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}\right)\)