Question

Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d = 1. Tìm Max S = \(\sqrt[3]{2a+b}\) + \(\sqrt[3]{2b+c}\) + \(\sqrt[3]{2c+d}\) + \(\sqrt[3]{2d+a}\)

Answer 1

Với 2 số thực x,y>0, ta có:

\(x^3+y^3-x^2y-xy^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\). Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\).

Do đó: \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow x+y\le\sqrt[3]{4x^3+4y^3}\)Áp dụng bđt vừa cm, ta có: \(S=\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}\le\sqrt[3]{8a+12b+4c}+\sqrt[3]{8c+12d+4a}\le\sqrt[3]{48a+48b+48c+48d}=\sqrt[3]{48}\)(vì a+b+c+d=1)

Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)(vì a+b+c+d=1)