Đề bài sai, biểu thức này ko có min

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

\(P=\sum\dfrac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\ge\sum\dfrac{2x^2\sqrt{yz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum\dfrac{2\sqrt{x^3}\sqrt{xyz}}{\sqrt{y^3}+2\sqrt{z^3}}=\sum\dfrac{2\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}+2\sqrt{z^3}}\)(vì xyz=1).

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^3}=a\\\sqrt{y^3}=b\\\sqrt{z^3}=c\end{matrix}\right.\)(\(a,b,c>0\))thì giả thiết trở thành cho abc=1. tìm Min \(P=\dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b}\)

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(P=2\left(\dfrac{a^2}{ab+2ac}+\dfrac{b^2}{bc+2ab}+\dfrac{c^2}{ac+2bc}\right)\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=2\)( AM-GM \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\))

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay x=y=z=1

Thử nhé

Vì P là bất đẳng thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)

Thay vo P ta duoc \(P=4.\sqrt{2021}\)

----------------------------------------------------------

\(P=\sum\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}{z}\)

Cauchy-Schwarz:

\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge z+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow P\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\ge\sum\dfrac{xz+yz+x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{z}=\sum x+y+\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\sum x+y+\dfrac{2xy}{z}\)

\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\)

Cauchy-Schwarz: \(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{zx}{y}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y}.\dfrac{xy}{z}}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(x+y+z\right)=4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2021}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)

Ta chứng minh BĐT sau:

Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

\(M=5\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(M\ge5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=5.\frac{9}{16}+\frac{\frac{9}{16}}{3}+2.\frac{9}{\frac{4.3}{4}}=9\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/4  ( cái này bạn tự giải rõ nhé)

:D. cái gì đây

tự hỏi tự trả lời ? 

Lại còn " cái này bn tự giải rõ nhé " :v