Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Thị Thanh Trúc
Xem chi tiết
Akai Haruma
29 tháng 8 2019 lúc 0:11

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}; bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}; ca\leq \frac{(c+a)^2}{4}\). Do đó:

\(\frac{ab}{c^2+3}+\frac{bc}{a^2+3}+\frac{ac}{b^2+3}\leq \frac{1}{4}\underbrace{\left(\frac{(a+b)^2}{c^2+3}+\frac{(b+c)^2}{a^2+3}+\frac{(c+a)^2}{b^2+3}\right)}_{M}(*)\)

Lại có, từ $a^2+b^2+c^2=3$ và áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz suy ra:

\(M=\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}+\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}+\frac{(c+a)^2}{(b^2+a^2)+(b^2+c^2)}\)

\(\leq \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+a^2}\)

\(\Leftrightarrow M\leq \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}=3(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

tthnew
30 tháng 8 2019 lúc 10:55

\(VT=\Sigma\frac{ab}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2}.\Sigma\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2}.\sqrt{b^2+c^2}}\le\frac{1}{4}\left(\Sigma\frac{a^2}{a^2+c^2}+\Sigma\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)

(tắt tí ạ, ko chắc)

nguyễn thị mai hương
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Xuân Dung
12 tháng 8 2018 lúc 19:42

1) \(ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)+ac\left(a-c\right)\)

\(=ab\left(a+b\right)-b^2c-bc^2+a^2c-ac^2\)

\(=ab\left(a+b\right)-c\left(b^2-a^2\right)-c^2\left(a+b\right)\)

\(=ab\left(a+b\right)-c\left(a+b\right)\left(a-b\right)-c^2\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(ab-ac+bc-c^2\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left[a\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left(b-c\right)\left(a+c\right)\)

Bùi Đạt Khôi
Xem chi tiết
binh
22 tháng 7 2017 lúc 10:45

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc

=(ab(a+b)+abc)+(bc(b+c)+abc)+(ca(c+a)+abc)

=ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a+b)

=(a+b+c)(ab+bc+ca)

Phạm Thùy Linh
Xem chi tiết
Die Devil
3 tháng 9 2016 lúc 21:40

\(1.VP\)

\(\left(a+b\right)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab\)

\(=a^2+b^2=VT\left(DPCM\right)\)

Lê Minh Anh
3 tháng 9 2016 lúc 21:49

1/  (a + b)2 - 2ab = a2 + 2ab + b2 - 2ab = a2 + b2 + (2ab - 2ab) = a2 + b2

2/  (a2 + b2)2 - 2a2b2 = a4 + 2a2b2 + b4 - 2a2b2 = a4 + b4 + (2a2b2 - 2a2b2) = a4 + b4

Lưu Hiền
3 tháng 9 2016 lúc 23:01

rảnh ko, tự phân tích hết cái đống hổ lốn lộn xộn ra là làm được, đăng lên làm j, c ko phải ng lp 8, tối đoán thế, tự phân tích, triệt tiêu đi, là ra vế trái, đơn giản, lằng nhằng lôi thôi lếch thếch nhưng nó hợp vs cái ng như c đấy

thiên thần bóng đêm
Xem chi tiết
Đen đủi mất cái nik
5 tháng 10 2018 lúc 21:16

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

b,

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^3=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3.\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)=0\)

Nguyễn Minh Thương
Xem chi tiết
OoO Kún Chảnh OoO
28 tháng 8 2015 lúc 14:33

a2+b2+c2=ab+ac+bc

<=>2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc

<=>a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc=0

<=>(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0

<=>a-b=0 và a-c=0 và b-c=0

<=>a=b=c

Hàn Tử Nam
Xem chi tiết
Ooo Nhók Ngốk ooO
4 tháng 4 2016 lúc 17:33

1)a + b + c = 0 
<=> (a + b + c)² = 0 
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1) 

CẦn chứng minh: 

2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)² 

<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) ) 

<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1)) 

<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0 

<=> 8abc.(a + b + c) = 0 

<=> 0 = 0 (đúng), Vì a + b + c = 0 

=> Đpcm

2Quy đồng hết lên là ra thui :) . Đặt thế này cho dễ : x = a/b , y = b/c , z = c/a => xyz = 1 

BĐT cần Cm <=> x² + y² + z² ≥ 1/x + 1/y + 1/z 

<=> x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx ( BĐT quen thuộc đây mà ) 

<=> 2(x² + y² + z² ) - 2(xy + yz + zx) ≥ 0 

<=> (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² ≥ 0 ( Luon dung ) => DPCM 

Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c 

Vậy a²/b² + b²/c² + c²/a² ≥ c/b + b/a + a/c . Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c 

- - - - - - - - - - - - -- - - - - -

Nguyễn Lê Thành Tín
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Anh Minh
17 tháng 11 2021 lúc 14:12

Ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0.\)

\(A=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)

Ta có

\(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=\)

\(=\left(ab+bc+ac\right)\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2-abbc-bcac-abac\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)

Khách vãng lai đã xóa
phan hai anh
Xem chi tiết